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tant. MM. Enriques et Severi reconnaissent ainsi que, si i'involution possède 

 une infinité de points doubles, son image est une surface rationnelle ou une 

 surface réglée elliptique; si elle n'a pas de points doubles, l'image est une 

 surface de rang 1 ou une surface elliptique; si elle a un nombre fini de 

 points doubles, Timage est une surface régulière, dont les deux genres 



égaux sont o ou i . 



Après ces préliminaii'es, les auteurs établissent le théorème fondamental 

 suivant : 



Soie/Il. sur tiiip surface hypereUiptique, //,, v^■^ u.,, v.,'^ ...; «,, c,., les r cou- 

 ples d'arguments (jui répondent à i»i même point; les u^, Vi s'expriment linéai- 

 rement en u,, i>,. 



La démonsUalion est assez délicate; l'idée principale est de considérer, 

 sur F, un système complet de courbes C, sans points lixes communs, et 

 d'étudier la courbe K, conjuguée dans I'involution à une courbe C : on 

 établit que K ne peut être une courbe irréduclil)le, et, en examinant les 

 modes possibles de décomposition, on montre que K se décompose en 

 /• — I courbes distinctes. 



11 résulte immédiatement du théorème fondamental que les seules sur- 

 faces de rang supérieur à i, et dépendant de trois modules arbitraires, ont 

 le rang 2 : ce sont les surfaces bien connues rcprésen tables point par point 

 sur la surface de Kunimer ou les surfaces analogues de diviseur quelconque. 



MM. Enriques et Severi font ensuite l'élude détaillée des surfaces irré- 

 gulières dont le rang est supérieur à r, et qui sont nécessairement ellip- 

 tiques; ils les classent en sept familles biralionnellement distinctes, pour 

 chacune desquelles les genres aritlimt-lique et gi'ométrique sont — i et o. 

 Chaque famille se trouve caractérisée t^rv des nombres invariants, qui sont 

 certains plurigenres, joints à l'entier qui appartient à toute surface ellipticjue. 



Le problème posé par l'Académie peut donc être considéré comme résolu 

 pour les surfaces irrégulières. 



En ce qui concerne les surfaces régulières , les auteurs se bornent à étudier 

 celles qui correspondent à une involulion formée, sur V, par des transfor- 

 mations ordinaires. Ils développent leui- analyse en supposant le diviseur 

 égal à l'unité, et, écartant les cas de dégénérescence, obtiennent onze types 

 de surfaces, appartenant aux rangs 2, 3, 4, 6, 8, 12, 2\. Le cas de r = 2. 

 ramène à la surface de Kummer; ceux de / = 3, 4, ^ coirespondent à des 

 groupes cycliques de substitutions linéaires; r—H, 12 à des groupes 

 dié(lri(pi('s: /•= 2/1 à des groupes létraédriqiics. Il sciait trop long de suivre 



