SÉANCE DU 2 DÉCEMBRE 1907. 9^5 



sur les contours C dont l'un enveloppe l'antre. Le problème fondamental 

 est ainsi résolu dans toute sa généralité. 



L'auteur signale en passant une conséquence fort intéressante de la mé- 

 thode : on sait qu'une fonction harmonique de deux variables, définie d'un 

 côté d'une ligne analytique cl qui prend sur cette ligne des valeurs régu- 

 lières, est prolongeable régulièrement au delà de cette Ugne. M. Hadamard 

 montre que la méthode de Fredliolm permet d'étendre ce théorème à toutes 

 les équations (aux dérivées partielles du deuxième ordre) linéaires et ellip- 

 tiques, et à un nombre quelconque de variables. Pour les fonctions Inhar- 

 moniques, le théorème analogue s'énonce ainsi : une fonction biharmo- 



nique Y, régulière sur un bord d'une ligne anidyhque ainsi que -jj^ , es/ pi-n- 



longeahle régulièremenl de l'autre côté de la ligne. 



Un autre résultat auquel fauteur attache une. grande inqjortance, bien 

 que le temps, dit-il, lui ait manqué pour en tirer toutes les conséquences, 

 est le suivant : la fonction de Green de l'élasticité, la fonction de Grcen ordi- 

 naire et la fonction de Neumann vérifient une même équation, à la fois diffé- 

 rentielle et intégrale, de forme simple. Cette équation gouverne ainsi trois 

 grands problèmes entièrement dislincls : en outre, un problème qui s'est 

 montré rebelle jusqu'ici aux efforls des analystes, l'étude de la propagation 

 des ondes à la surface d'un Hquide, dépend d'une équation analogue. 



J'arrive maintenant à la question de maximum abordée par M. Hadamard 

 et qui lui a été inspir/'C par ce théorème énoncé sans démonstration par 

 lord Rayleigh : Le cercle réalise /'extremum du son fondamental d' une plaque 

 homogène encastrée, dont le périmètre (ou l'aire) est donné. Le problème 

 que traite M. Hadamard est analogue : Une force donnée étant appliquée 

 en un point donné normalement à une plaque encastrée, détcrnuner le maxi- 

 mum de la flexion pour un périmètre (ou une aire) donné de la plaque. 



Ce problème, type d'une classe de problèmes que pose la Physique ma- 

 thématique, échappe entièrement au calcul ordinaire des variations. M. Ha- 

 damard l'attaque par une première méthode qui est une extension de celle 

 de Rneser et SchetTers, mais cette méthode est, par essence, limitée liu 

 maximum relatif. Pour atteindre le maximum absolu, il faut inventer une 

 méthode nouvelle : c'est ce qu'a tenté M. Hadamard, sans être arrivé encore 

 à résoudre entièrement le problème posé. Il établit seulement que la plaque 

 circulaire dont le centre est le point d'application de la force fléchissante 

 jouit de la propriété énoncée de maximum par rapport aux plaques dont le 

 contour est voisin du cercle et assujetti (quant à la courbure) à des restric- 



