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lions de continuitc'. Mais, si le but n'est pas encore atteint, on connaît du 

 moins un clieniin pour l'atteindre. 



Si riche qu'il soit en résultats acquis, ce Mémoire est plus remarquable 

 encore par ceux qu'il fait espérer. 



Rapport sur le Mémoire de M. L\i;riceli,a et le Mémoire n° 3, portant pour 

 épigraphe : « liieii n'est beau que le vrai, le vrai seul est aimable », par 

 M. ËMiLF. Picard. 



Le Mémoire de M. Lauricem,.*, inscrit sous le numéro 8, est un travail très 

 soigné qui résout conqilètement le problème proposé. A l'équation différen- 

 tielle en :; relative à l'équilibre des plaques AAs =f(.r, y), l'auteur substitue 

 un système F de deux équations différentielles où les fonctions inconnues 

 sont les dérivées partielles du premier ordre u et ^' de la fonction z ; on doit 

 alors intégrer le système F en supposant u et <- données sur le contour, ces 

 données satisfaisant d'ailleurs à une relation qui s'obtient immédiatement. 

 M. Lauricella développe d'abord pour le système F une théorie générali- 

 sant celles des potentiels de double et simple couches, qui lui permettra de 

 suivre ici une voie analogue à celle de Fredholm pour le problème de Dii i- 

 chlet. Les deux fonctions de a; et j qui jouent le rôle de potentiel de double 

 couche dépendent de deux fonctions arbitraires sur le contour, que nous 

 pouvons ajipeler deux densités; ces pseudo-potentiels sont discontinus pour 

 le passage par ce contour. En tout point de celui-ci, oh cherche leurs li- 

 mites intérieures et extérieures. M. Lauricella se propose ensuite de mettre 

 les fonctions cherchées u et p sous la forme de tels potentiels. Le système 

 fonctionnel, qui fait connaître leurs densités, s'obtient immédiatement, en 

 écrivant que les limites intérieures des potentiels ont des valeurs données 

 sur le contour. Ce système est formé de deux équations intégrales de 

 Fredholm ; on se trouve précisément dans un cas singulier, mais, le second 

 membre satisfaisant à la relation dont nous avons parlé plus haut, la condi- 

 tion classi([ue dans la théorie de l'équation de Fredholm se trouve vérifiée. 

 Le problème initial a alors une solution cjui est d'ailleurs unique, comme 

 on peut a priori le démontrer. 



M. Lauricella traite aussi un problème extérieur, en supposant que a el *• 

 soient doimées sur le contour et s'annulent d'une cei'taine manière à l'inlini 

 ainsi que leurs dérivées premières. Ici, comme dans le problème extérieur 

 (le Dirichlet, quand on veut mettre la solution sous la forme d'un potentiel, 

 il n'y a pas, en général, de solution; mais on peut modifier les conditions 



