SÉANCE DU 2 DÉCEMBRE 1907. 989 



déjà proposées, mais l'auteur, après avoir rappelé les travaux de ses devan- 

 ciers, introduit dans chacune de ces méthodes une foule de perfectionne- 

 ments destinés à en augmenter la rigueur ou la portée. 



Il est préoccupé en même temps de donner à ses résultats une généralité 

 aussi grande que possible, et c'est ainsi qu'au lieu d'envisager seulement 

 l'équation du problème l' u — o, il s'attaque tout dt- suite à l'équation plus 

 générale \'-"'u = o. Il généralise d'abord certaines formules de Green et la 

 notion de fonction de Green, qui, ici, a une signification physique très 

 simple. Après avoir rapjjelé certains théorèmes déjà connus qui permettent 

 de représenter une fonction quelconque polyharmonicjue (c'est-à-dire satis- 

 faisant à A-"'u — o) par une combinaison de polynômes simples et de fonc- 

 tions harmoniques [c'est-à-dire satisfaisant à A-(m) = o], il détermine la 

 fonction de Green pour une aire circulaire et donne par là la solution com- 

 plète du problème pour une plaque circulaire. Cette solution, à la vérité, 

 avait déjà été donnée, tant pour une plaque circulaire que pour une plaque 

 annulaire; mais M. Boggio la simplilie considérablement, surtout en ce qui 

 concerne les plaques annulaires. Vient ensuite la solution du problème pour 

 une plaque elliptique par une série très convergente où figurent des fonc- 

 tions hyperboliques des coordonnées elliptiques. 



L'auleur aborde également le cas où le contour de la plaque peut être 

 conformément représenté sur un cercle parle moyen de fonctions ration- 

 nelles; la solution, quoique assez compliquée, est complète; ajoutons 

 qu'une partie de ces résultats avaient déjà été obtenus par M. Aimansi. Il 

 tente encore deux autres méthodes, dont l'une est la mélhodc des approxi- 

 mations successives de M. Picard, tandis que l'autre le conduit à une infi- 

 nité d'équations linéaires à une infinité d'inconnues. Il reconnaît que ces 

 méthodes peuvent le conduire au but pourvu cjue certaines inégalilés soient 

 satisfaites; il montre qu'elles le sont quelquefois, mais pas toujours. 



L'Académie avait spécialement appelé l'attention des concurrents sur le 

 cas de la plaque rectangulaire. M. Boggio a remarqué que ce problème peut 

 se ramener à un autre problème d'élasticité autrefois réso'u par Mathieuj 

 il rappelle la solution de Mathieu et montre comment on peut en déduire 

 celle (pi'on cherche. On peut remarquer que celle-ci est plus simple et 

 qu'il semblerait plus naturel de suivre une marche inverse, en remontant 

 du problème proposé à celui de Mathieu. 



Nous mcnlionnerons particulièrement le dernier Chapitre où l'auteur 

 applique la méthode de Fredholm qui le conduit à la solution conqjlète du 

 problème. Il donne même deux solutions différentes; nous ferons observer 



