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que dans l'une d'elles figure la fonction ordinaire de Green et dans l'autre 

 ce qu'il appelle la fonction de Dini. c'est-à-dire une fonction analogue à 

 celle de Green, mais telle que ce n'est pas la fonction elle-même, mais sa 

 dérivée normale, qui s'annule sur le contour. Les deux solutions supposenl 

 donc la résolution préalable du problème de Dirichlet ou d'un problème 

 analogue. 



Le Mémoire n" 7 porte pour épigraphe : liarré de SaiiU-Veiiant. Le 

 problème y est abordé par deux méthodes distinctes. La première est ana- 

 logue à celle qui a été appliquée autrefois au problème de Dirichlet par 

 M. Zaremba. Substituons à l'équation A V = o l'équation plus générale 



A' (' -I- 2 1 A- (' -I- iîi r = o, 



le problème peut facilement être résolu quand on a E, = ^- et que ^ est né- 

 gatif; l'équation 



A* (' -I- 2 ;o A= (■ 4- ç^ f = O 



étant ainsi résolue, on passe à l'équation plus générale 



A* (• 4- 2 to A^ (> 4- 45 (' 4- r, ( A i' 4- ço r ) n= o, 



et l'on voit que la solution peut en être développée suivant les puissances 

 de Y] en une série qui converge pourvu que |yj|£|Eo|; cela donne la solution 



de 



A'c 4- ^oA-(' = o. 



On voit alors que la solution de 



A' l' 4- ( Co 4- Ç ) ^" '' = " 



est développable suivant les puissances de 'Ç et que le développement con- 

 verge pourvu que C^^o» ce qui donne enfin la solution de AV = o. 



La seconde méthode est fondée sur l'emploi de l'équation de Fredholm. 

 Dans la solution figure la fonction ordinaire de Green (de même que dans 

 la solution analogue de M. Boggio). Cela n'est qu'un léger désavantage, 

 mais la solution présente une autre imperfection, puisqu'elle exige un pro- 

 cessus assez indirect de passage à la limite; on détermine par l'équation de 

 Fredholm une certaine fonction w dépendant d'un paramètre arbitraire X, 

 on en déduit par une intégrale définie une autre fonction c et la fonction 

 cherchée V est la limite du produit Xr pour A = oo. 



Les deux méthodes se complètent mutuellement; la première, impropre 



