SÉANCE DU 9 DÉCEMBRE I907. Il33 



On peut, à l'aide d'un changement des variables u et c, prendre 



«,= ?/('■•). ^''= 7^ = ?;('') (''=1,2,3), 



o,, ©o, O3 étant trois intégrales linéairement indépendantes d'une équation 

 différentielle de la forme 



(3) 9"'(c)-+- A((')9(<-) = o. 



Le même résultat aurait pu s'obtenir en appliquant directement la 

 méthode indiquée dans ma Note mentionnée. On obtient de cette manière 

 toutes les surfaces S réglées. 



II. On sait que sur chaque surface il y a une ligne formée par les points 

 où l'on peut mener une tangente qui coupe la surface en quatre points con- 

 fondus au point de contact; c'est ce que les géomètres anglais appellent la 

 ligne ftecnodale de la surface. M. Voss et surtout M. Wilczynski dans son 

 Ouvrage récent ( Projectùe differenlial Geometry of ciirves and rided surfaces) 

 ont étudié les lignes flecnodales des surfaces réglées. Si l'on suppose que 

 pour une surface réglée les deux branches de cette ligne sont confondues 

 en une courbe plane C^ décrite par le point P, de coordonnées tétraé- 

 driques y,, y.,, v,, y^, les v étant des fonctions d'ime variable c, et que 

 chaque génératrice de la surface coupe une certaine ligne asymptotique C, 

 en un point P:(z,, So, s,, s,), où les s sont par conséquent aussi des fonc- 

 tions de r, on trouve que, par un clioix convenable de la variable v, de 

 l'asymptotiquo ( L et des facteurs par lesquels on peut multiplier les y et 

 les z, l'on peut considérer ces fonctions comme des intégrales d'un système 

 de la forme 



(4) r"-3'=o, ="-+-A(r)j = o. 



En comparant ce système (4 ) à léquation (3), on obtient le résultai sui- 

 vant c{ue je voulais atteindre : 



Les surfaces S réglées ont les deux branches de ta ligne Jlecnodale confon- 

 dues suivant la courbe de l' infini de la surface. Ce sont les seules surfaces 

 réglées qui jouissent de cette propriété. 



