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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur la permutation des intégrales d'un système 

 d' équations différentielles. Note de M. A. Buiil, présentée par M. H. Poin- 

 caré. 



Dans les Comptes rendus du 4 novembre, M. C. Popovici revient sur des 

 recherches concernani les opérateurs qui permutent les intégrales d'un 

 système d'équations 



f/.j I dx, dx,^ 



recherches qui firent en 1901 l'objet de ma Thèse et de difl'érents Mémoires 

 dus notamment à MM. de Donder et Saltykov. 



.l'ai constaté que ces études rentraient dans la théorie des groupes de 

 Lie; on trouve, en effet, quelque chose d'analogue dans le« Vorlesungen 

 ùher Biff'erentialgleichungen de Lie et Schefl'ers (1891, p. 3x3 et suivantes). 

 Malgré cela, l'utilité d'une méthode directe subsiste, ce que la Note de 

 M. Popovici prouve à nouveau. La théorie en litige peut se construire en 

 partant de considérations élémentaires et immédiates, tandis que, dans l'Ou- 

 vrage précité, le seul fait de ne la rencontrer qu'à la page 3i3 porte à croire 

 qu'elle dépend de préliminaires assez longs. 



Aussi, à côté des intéressantes remarques de M. Popovici, je désire en 

 faire quelques autres. 



Les résultats peuvent prendre une forme remarcjuablemcnt symétrique 

 que je crois nouvelle. 



Reprenons le système (i) ou, ce qui est plus commode, l'équation 



Ox^ ax^ ax„ 



Soient tl>,, •!».,, ..., <P„ , ses intégrales et <I>„ une fonction telle que 

 X(*„) = i. 



Considérons le multiplicateur de Jacobi 



(/(,/■,, ,ro, ..., J?„_i, x,,) 

 qui permet d'écrire (2) sous la forme 

 (3) r 0{^\,<^,, ■■.,a>„-i,/) ^^ 



IJ (/(^,, ^2, . . . , X'„_|, X„) 



