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Certainement, "^ (/) est encore une solution dé \(/') = o, si f en est 

 une, mais malheureusement ie théorème réciproque disparaît. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur ta fonction D( A) fh^ Fredholm . 

 Note de M. T. Lalesco, présentée pai" M. Emile Picard. 



Aux résultats énoncés dans une Note précédente on peut adjoindre les 

 remarcjues suivantes : 



1. Considérons une équation de Fredholm quelconque 



soit fp{oc, s) le noyau obtenu de f{x, s) par p — i itérations successives 



et^/,= j f,As,s) 



(h. 



La condition nécessaire et suffisante pour qu'à l'équation (i) corresponde 

 exactement « fonctions singulières est qu'on puisse trouver n quantités 

 rt,, «2! • • ■? û!» telles que, pour/; > 2, on ait 



A-^=<+«f:-t-...H-r.;;. 



S'il n'y a aucune racine, on retombe sur un résultat déjà énoncé. 



Ce critérium permet de trouver immédiatement un théorème de M. D, 

 Hilbert sur la même question dans le cas d'un noyau symétrique; mais on 

 peut voir aussi facilement qu'il n'est plus vrai pour un noyau non symé- 

 trique. Voici un exemple dû à M. E. Goursat. 



Prenons y(^, .v) égale à la série uniformément convergente entre a el b : 



cti sin.r siny -+- a, sin 2 j- sin 2 j +. . .-f- «„ siii/(.r sin/iy 

 -+- «„+i sin (n -t- I )^ cos(« -h i)y -h ■ . ■ 

 -+- Cl „^p sin (n -h p)x cos{/i. -hp)y -h. . .; 



on a immédiatement 



Il n'y a donc que n fonctions singulières. Dans le même ordre d'idées, 

 on obtient un exemple extrêmement simple d'une équation de Fredholm 

 sans aucune fonction singulière en prenant /(jc, 5) =; ip, ( j;-) ^^ (^)) Çi et ^3 

 étant deux fonctions orthogonales dans l'intervalle ab. 



