II 38 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



l'aide des variables indépendantes el des quantités paramétriques. Cela 

 étant, nous dirons que le système complètement intégrable donné est de 

 forme ordinaire, si, en attribuant à chacune des variables indépendantes 

 une cote (unique) égale à i, et à chacune des fonctions inconnues une cote 

 (unique) convenablement choisie, les formules dont il s'agit satisfont toutes, 

 sauf un nombre essentiellement limité d'entre elles, à la condition que le 

 second membre de chacune ait une cote au plus égale à celle du premier 

 membre correspondant (telle est, par exemple, une forme orthonome 

 passive). 



Nous nommerons, enfin, arbitraire du genre h une fonction arbitraire de 

 h variables indépendantes (les constantes arbitraires sont, d'après cette 

 définition, des arbitraires de genre zéro). 



II. L'étude des déformations linies d'un milieu continu dans l'espace à 



n dimensions conduit, comme on sait, à la considération des '—^ — équa- 

 tions simultanées 



du Ou ôv c'r ()i\' <)iv 



dxj dxi, ' ()xj ôx,,. '■' ' ()xj d/v, ^ ''" 



où //, (', . . . , w désignent n fonctions inconnues de n variables indépen- 

 dantes a;,, a-j, . . . , x,,^ (y, k) une combinaison tic deux entiers, distincts ou 

 non, pris dans la suite i, 2, . . . , «, et u.j /,{= l'-kj) une fonction donnée des 

 // variables indépendantes. Pour qu'un pareil système admette quelque 



groupe d'intégrales, il est nécessaire que les —:— fonctions données [Jl^_/c 



satisfassent identiquement à un système de — équations aux dérivées 



partielles du second ordre; et réciproquement, si les fonctions fjiy ;; vérifient 

 identiquement ces dernières, la solution générale du système proposé, aux 



inconnues u, c, . . . , iv, dépend de constantes arbitraires. Les 



— ^^ fonctions pi^ /, se trouvant ainsi assujetties à vérilier certaines con- 

 ditions de possibilité, si l'on se propose de rechercher que/s sont, dans le 

 choix de ces fonctions, les éléments dont on peut disposer arbitrairement, il 

 suffit ('videmment, pour résoudre la question, de mettre sous une forme 

 complètement intégrable le système constitué par l'ensemble des conditions 

 de possibilité, puis de fixer (à l'aide d'un procédé élémentaire que nous 

 avons fait connaître) l'économie des conditions initiales dans la forme dont 

 il s'agit : or, une simple résolution d'équations linéaires fournit immédiate- 



