SÉANCE DU I*) DÉCEMBRE tgoy. 1237 



Admettons que les lignes t' = const. sur la surface S soient des courbes 

 coniques (d'après K.-M. Peterson), c'est-à-dire des courbes de contact 

 d'une famille de cônes circonscrits à £. La surface 1, se réduit évidemment 

 à une ligne et l'équation ponctuelle relative au système conjugué sur la sur- 

 face 2 est caractérisée par cette propriété qu'un de ses invariants est 

 nul('). 



Admettons maintenant que les lignes 11 = const. sur la surface S soient 

 planes. La surface 1, se réduit évidemment à la développable enveloppée 

 par les plans des lignes u = const. de la surface E, et la famille u = const. 

 sur la développable I], est composée de ses génératrices rectilignes. Il s'en- 

 suit que l'application à la surface S, de la construction précédemment 

 définie conduit à une ligne — l'arête de rebroussement de la développable — 

 la congruence des tangentes se réduisant au système des génératrices, et, 

 par conséquent, l'équation ponctuelle relative au système conjugué sur la 

 surface Z est caractérisée par cette propriété qu'en lui appliquant une fois la 

 transformation de Laplace on est conduit à une équation dont l'un des 

 invariants est nul. 



La relation entre les deux surfaces S et D, étant dualistique, on peut 

 énoncer ces deux propositions : 



1° Si l'une des deux famUles d'un système conjugué est composée de lignes 

 planes, l'un des invariants de l'équation tangentielle relative à ce système con- 

 jugué est nul. 



•1° Si l'une des deux familles d'un système conjugué est composée de lignes 

 coniijues, l'équation tangentielle relative à ce système peut être transformée, 

 à Vaide d'une transformation de Laplace. en une équation dont l'un des 

 invariants est nul. 



(les deux propositions conduisent rapidement à la solution du problème 

 suivant : 



Déterminer toutes les surfaces qui peuvent être déformées d'une manière 

 continue avec conservation d'un système conjugué, l'une des familles de ce 

 système étant composée de courbes p/anes ou coniques. 



Le système conjugué considéré étant persistant, l'équation tangentielle 

 respective doit être une équation à invariants égaux, et, par conséquent, 

 par un choix convenable des variables u^ v et des coordonnées tangen- 



(') Voir Darboix, Théorie des surfaces, t. II. Cliap. I, II, VU. 



