12.58 ACADÉMIE DES SCIENCES, 



tielles 0,, on peut lui donner l'une de ces deux formes (') 



(2) -^z^.=o. 



La résolution du problème posé dépend de la détermination de Irois 

 solutions 6,, Oo, 0^ vérifiant une relation de la forme 



(3) 0^+01+ 01 = o{u) + ']^(v). 



Pour la première des équations (2), on est conduit aux résultats bien 

 connus; le système conjugué étant composé de deux familles de courbes 

 planes et coniques à la fois. 



Pour la deuxième des équations (2), j'avais donné antérieurement (^) la 

 solution générale 



(4) 5,= 2—: U', f/,= 2 '■ U;, Q,= 'i 



U, U,, Y étant des fonctions de u et de r respectivement vérifiant les vAn- 

 tions 



( 5 ) < 



( V- m Oa ('^ — fli ('- -\- a.,v — «3. 



La surface Z étant l'enveloppe du plan 



(6) ô,x-f-9,r + 6i;,: + &., = o, 



il reste à choisir 0, de manière que les lignes u =^ const. soient des lignes 

 coniques. Il est aisé de voir qu'il suffit de poser 



(7) ^*=''^-^'i- 



LIo étant une fonction arbitr.iire de u. Les sommets des cônes sont situés 

 dans le plan ; = o, et tous ces cônes sont algéhriques de même que les lignes 

 u = const., puisque les 0, sont des fonctions algébrifjues de c. La surface 1 

 devient elle-même algébrique si les fonctions L, U,, V]., sont des fonctions 

 algébriques. Il est aisé de voir que la déformation continue des surfaces 

 considérées, avec conservation du système conjugué, conduit aux surfaces 

 de même espèce. En effet, l'un des invariants de l'équation ponctuelle 



(') Voir Dahbou.v. Théorie dex surface f. l. H, Cliap. 1, II, VU. 

 (^) Comptes rendus, 24 juin 1901. 



