SÉANCE IJU l(j DKCEMlSRr, I907. 126'i 



ANALYSE MATHÉMATIQIE. — Sur les équations différtnlielU's du troisiénir 

 ordre à points critiques fixes. Note de M. J. Ciiazy, présentée par 

 M. Painlevé. 



Cette Communication a pour objet une première application aux équa- 

 tions difTérenlielles du troisième ordre de la mi'tiiode qui a permis à M. Pain- 

 levé de découvi'ir des transcendantes uniformes nouvelles comme intégrales 

 d'équations du second ordre. 



M. Painlevé a montré que, pour qu'une équation donnée du troisième 

 ordre ait ses points critiques fixes, il est nécessaire qu'une ('équation simpli- 

 fiée qu'on en déduit ait son intégrale générale uniforme. Considérons les 

 équations qui admettent comme simplifiée >'= o : ce sont les équations 



r"=P,(j)/'+P„/^ + P,(j)j'+P,(/); 



les P sont des polynômes en y de degré égal à leur indice, et leurs coeffi- 

 cients sont des fonctions analytiques de x. Toutes celles de ces équations 

 dont 1 intégrale générale a ses points critiques fixes peuvent être intégrées 

 par les fonctions rationnelles, exponentielles, elliptiques et transcendantes 

 du second ordre, ou bien sont réductibles à des combinaisons de quadra- 

 tures et d'équations linéaires, ou enlin peuvent èti-e ramenées algébrique- 

 ment à lune des sui\antes : 



(I) y"^i2j/+6jK-6^, 



(II) y'" — I '2yy -+- ^"~ ^^' ~ " -\-\-2.ry — 6j-% 



(III) y'' + e,y'-—Ç,y — 2,x- — o, 



( I\ ) y" -H 61'^ — 1 2 .rj — 2 .r* -)- « rrz o, 



( ^ ' y'" + •'.>''^ — 6 ■ f E ( 1 8a-' )■ -h .»* ) -I- «.c- -I- - = o ( c =: I ou o), 



i /"-H6j''^-6/-(.r,o, i)(v'-i-j-)-h«(2/j/ — //y) 



i\î\\ ' ,a{x + h) ., <j{.r — /i) V, 



(VI). -1-6 — ^ e--^^'' -f c e '^'' =: o 



j 1x1 X 



\ [/>^//,0, J) = 0], 



a, 6, c sont des paramètres arbitraires. 



Les équations (I) et (II) deviennent les équations (111) et (IV) par la 

 transformation vi — y'. Des é(piali<ins (I), (II) et (III), (IV), (V), (VI), 



c. R., 1907, 1' Semestre. (T. CXLV, N° 25.) 1^7 



