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SÉANCE DU l(j DÉCEMBRE 1907. 1265 



Y 



dehors des deux points singuliers o et oo. La transformation x =■ e^ y := — 



conduit à l'équation 



7'"+ 6r'-— 2(_v"-l- a/j') — £(6je--'"+ e'"^) + ae-^-^ be='—o, 



dont les intégrales sont méromorphes. Si l'on fait dans cette nouvelle équa- 



11' 

 lion la transformation r = — , la fonction u est entière et satisfaità une équa- 

 tion différentielle duquatrième ordre. D'après lesprincipes posésparM. Borel 

 et les théorèmes de M. lîoutroux, il estbien facile de déterminer son ordre de 



grandeur. Son genre est infini : si s = i , elle croît conime e' dans les régions 



e-' 



du plan des x où elle est très grande, elle décroit comme e '" dans les 



régions où elle est très petite; si e^o, elle se comporte comme g-*'", 

 /■ 



Équation 17. — Les intégrales de V équation (VI) admettent des pôles 

 mobiles et admettent en outre comme points singuliers fixes, criti([ues en 

 général, les pôles de p(x,o, 1). La tranformation j}(a") = X, y^\p' 

 donne une équation dont les intégrales sont méromorphes, sauf au |)oint -jz 

 et aux trois points 4 X ' — i =0. Si dans cette nouvelle équation l'on pose 



y=— I la fonction u satisfait à une écmation différentielle du quatrième 

 Il ' ' 



ordre, et elle est régulière, sauf au point ce et aux points '1^—1 = 0. (^.es 

 points peuvent être pour elle critiques, algébriques ou logarithmiques, 

 essentiels, etc. 



En résumé, si l'on admet que leurs points critiqws sont fixes, les transcen- 

 dantes obtenues présentent la plus grande analogie avec les transcendantes 

 uniformes du second ordre. Elles sont, au contraire, bien différentes des 

 fonctions fuchsiennes. Si, parmi toutes les équations «'»?/)/«'//("'« possibles ('), 

 au lieu de la plus simple, on choisit l'équation différentielle des fonctions 

 fuchsiennes, ou une équation voisine, on obtiendra, par l'équation complèt^^, 

 des transcendantes d'une autre nature et se rapprochant des fonctions fuch- 

 siennes, 



(') Complet rend iix, ti) juillet içio". 



