SÉANCE DU 3o DÉCEMBRE I907. 1^97 



est celle d'un (n -\- m — /c)-\)cde réel, noinjué produit k"""" des muUipèdes a" 

 et 6'", et désigné par a"j.b"'. Le produit scalaire a":,,,b" sera désigné par 

 a"-b" (1, n" 3). 



2. Un /«-pède a" dont les coordonnées binaires sont des fonctions de 

 point X détermine une fonction n-pédiqiie qui sei'a désignée également 

 par a"('). En introduisant le vecteur opérateur? de Hamilton, de coordon- 

 nées T), = -—) nous appelons m-pèdes dérivés du degré p de la fonction a" 



les produits par le /i-pède a" des multipèdes opérateurs symlioliques 

 ^p--'^(y\f[p^a=o, i,...];ona 



3. Un multipède, dont les coordonnées binaires sont homogènes par rap- 

 port à chaque série des dérivées partielles des ordres o, i, . . ., y des coor- 

 données binaires a^ de la fonction a" par rapport aux a-,, élanl indépendant 

 du choix des axes, soit appelé invariant dijférc/ttiel vectoriel \., de la fonc- 

 tion «-pédique a". Les T^ sont les I„ des nudlipédes dérivés des degrés 

 o, I, ..., q de la fonction a" \ leurs formes sont les comitants des formes 

 binaires de ces multipèdes. Un système complet des I^ est donné par un 

 système complet de ces formes (I, n° 4). 



4. Une fonction scalaire S^ linéaire en v vecteurs, dont les coefficients dé- 

 pendent des a;), est déterminée par un nombre de multipèdes immanents 

 (I, n° 6). Les immanents de S" sont, par exemple : un bipède B, un vec- 

 teur V et un scalaire 0; on a 



Les \g de S'' sont les 1^ des multipèdes immanents de S^ (-). 



5. Applications. — a. ha fonction vectorielle v possède les multipèdes dé- 

 rivés des degrés i et 2 : le bipède {^)Vv ^= déf. v = l\b, V, c = rot. v = r, 



(') On peut la représenter par la ronclion sp/ié/'i/jiw n„ =: a"-v" (11, n° 1 ), où a" est 

 fonction de X. 



(^) Théorèmes analogues pour les 1^ de plusieurs fonctions de plusieurs multipèdes. 

 Pour des transformations par similitude, les I2 sont aussi invariants près un facteur 

 qui est une puissance du rapport de la similitude. 



(^) En considérant le vecteur c comme vecteur de déplacement d'une déformation 

 inliniment petite, le bipède V i', déterminant justement le changement de figure pro- 

 duit, sera appelé déformateur du vecteur et désigné par déf. v \cf. n" 5 (c)]. 



