1398 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



r-c= 2c]iv.('; le tripède V^v — z, le bipède V-;c= [i el les vecteurs T-:,v, 

 VVc = 2A('. La condition (^r = o remplie, les lignes de flux de la fonction (' 

 admettent une famille de surfaces F trajectoires orthogonales. La géométrie 

 infinitésimale de ces surfaces est intimement liée au système complet d'une 

 quadricjue binaire et d'une biquadrique ( '), celles du vecteur c et du bi- 

 pède b. On trouve, par exemple, des expressions simples du résultant et de 

 l'invariant A de ces formes par les courbures principales de F. La condition 

 pour les F de former une famille de Lamé est 



1^.^ + 1(3.6'-,-/= 4 C. 



où C = T-i>^ ; T et / désignent des tripèdes rectangulaires, l'un situé sur les 

 droites de symétrie de b, l'autre contenant le vecteur c et le bipède 

 6,. = |('|^L — i'W situé sur les tangentes de courbure principale de F et 

 formé de deux vecteurs dont la somme et la différence donnent le bipède 

 b' = (^; b^.] le vecteur y' est égal k \i>\-y + ^A'\/. 



On spécialise les résultats obtenus pour les surfaces de niveau de lA/onc- 

 iion scalaires en remplaçant le vecteur c par V5 = grad. s. Ces surfaces for- 

 ment, par exemple, une famille de Lamé, si s satisfait à l'équation 



V^p.-— ,6C(2). 



b. Les a)|j, de S^(voir n° 4) étant les composantes de \ effort, on obtient 

 le bipède B et le scalaire (l'effort moyen) comme immanents de l'effort. 



Les équations d'équilibre V -y-^ = o peuvent être exprimées comme il 



suit: le vecteur V-jB s'annule, par conséquent le vecteur T; B devient un 

 gradient d'un scalaire qui est égal à — ^^0. Généralisation des fonctions de 

 l'effort de Maxwell et M. Morera : Si b est un bipède quelconque et & un 

 scalaire, le bipède et le scalaire 



sont les immanents de l'effort d'un équilibre dont nous venons de parler. 



c. Les a>n de S' étant les composantes d'une déformation infiniment pe- 

 tite avec le vecteur v de déplacement, on obtient les raullipèdes immanents 



(') On tire de ce système de M. Gordan (en employant les iiolations de Clebsch, 

 liinàre Formen, p. 212) : le tripède T = 6; H, les bipèdes H = èj 6, L :rz 6; c, les vec- 

 leurs 4i=:ftj(', x = H-c, iF = ij^j c, les scalaires v.v — o.\s'Y, g^—\b-b, g^—\)\-b, 

 k — bv"-, B = H-i'», G = (iJ;i/Jr. 



(*) Cf. Daiiboux, Systèmes ortlwgonaux, t. I, p. ^o. 



