SÉANCE DU 3o DÉCEMBRE 1907. l'igQ 



de la déformation : b = | déf. t^, r = rot. v,'^—-, div. r. Un invariant I, qui 



ne dépend que des dérivées -r—^ est un polynôme de Sr et des invariants bi- 



naires |r|-, g., §-3, A, B, C de la quadrique du vecteur /• et la biqua- 

 drique du bipède è('). Équations de Saint-Venant : Pour qu'un bipède b 

 et un scalaire 2r soient immanents d'une déformation infiniment petite, il 

 faut et il suffit que le bipède B et le scalaire S [voir {b)\ formés de 6 et & 

 s'annulent. 



6. Au lieu de la fonction n-pédique a", on peut introduire les n /onc- 

 tions p'"' vectorielles qui la composent. L'effort dans un milieu est, par 

 exemple, donné par deux fonctions vectorielles et par le scalaire de l'effort 

 moyen. On peut alors traiter les cas spéciaux où ces fonctions f'"' possèdent 

 des propriétés invariantes, par exemple où elles coïncident. 



Enfin on peut, surtout pour des buts analytiques, considérer au lieu de la 

 fonction a" les facteurs linéaires de leur forme a^", qui déterminent des 

 vecteurs de longueur nulle ou de points sur le cercle à l'infini conjugués 

 deux à deux. 



ARITHMÉTIQUE. — Sur la décomposition d'un nombre en une somme de puis- 

 sances huitièmes d'entiers. Note de M. Edmond 3Iaili.et, présentée par 

 M. Jordan. 



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Waring a signalé ce problème, qui est une des énigmes historiques de 

 l'Arithmétique et qu'on peut a^i^xAcT problème de Waring : 



Montrer que tout nombre entier N est la so/nme d'un nombre /•, limité pour 

 chaque valeur de n quel que soit N, de puissances n""'"^' d'entiers positifs (-). 



C.c théorème est établi maintenant pour n = -i( Fermât, Euler, Lagrange). 

 // = 4 (J. Liouville), n = 3 et 5 (E. Maillet), n = 6 (A. Fleck). La 

 méthode récente de M. Fleck, convenablement modifiée, s'étend, grâce à 

 des leiiimes de Cauchy et J. Liouville, au cas de n = 8. 



(') L'invariant I, du second degré par rapport à ces dérivées est, par exemple, 

 ^ otjÇ-j + (3 I /• p-t- ySr- où a, [3, •/ sont des constantes; cf. Poincaré, Leçons sur ta 

 théorie de l'élasticité, p. 20. 



{^) Le théorème étant supposé vrai pour une valeur de «^2, j'ai pu montrer 

 que /> ^/i -H I pour une inlinité de valeurs de N. 



C. H., 1907, 2' Semestre. (T. CXLV, N" 27.) i8j 



