l4oo ACADÉMIE DES SCIENCES. 



Soient a?, , .t.,, . . ,, x^, entiers > o, et les sommes 



(i) 2''-'Aj^,=^(.r,±:.r,±j:,±...±.r^)» (qip), 



obtenues en prenant dans les parenthèses toutes les combinaisons y à ^ de 

 ces p quantités, et additionnant dans chaque combinaison les q quantités 

 dont ly — I ont été affectées des signes 4- ou — de toutes les manières pos- 

 sibles. Ay_, est de la forme 



Si 



G: 



= (V.,,), H 



\ 1 /' 



G + 2H est de la même forme que A^_|. Il se trouve que G + all peul 

 s'exprimer, pour/? ^ 5i, par une fonction linéaire homogène à coefficients 

 numériques et positifs de 



(2) ^ A,, A,, A3, Aj, A, 8 et A-o 



(au lieu de A ,„ on pourrait prendre A.,,,, A,,„, ... ou A,,j). 



D'autre part, on conclut de lemmes de Cauchy et de J. Liouville que 



Loule puissance quatrième d'entier 7n positif est de la forme-- — '— (pour 



? 



p^5i)^ où o est un entier numérique positif qui n'a que deux valeurs 

 distinctes suivant que m est de la forme 4/* + li ou non. Tout nombre N 

 étant, d'après J, Liouville, la somme d'au plus 53 bicarrés d'entiers, est 

 alors une fonction linéaire, à coefficients rationnels, numériques et positifs 

 de plus petit dénominateur commun A, d'au plus 53 systèmes de quan- 

 tités (2) (A est un entier numérique). 



Si A, = a'^'A, d'après (i), A,N est donc la somme d'un nombre limité de 

 puissances huitièmes; par suite, puisque tout entier est de la forme A, N -)- 0, 

 avec o^o^A, — i, et que l'unité est une puissance huitième, tout entier est 

 1(1 somme d'un nombre limité de puissances huitièmes d'entiers positifs. 



