SÉANCE UU 3o DÉCEMBRE 1907. l'jOI 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur t' équation ^ = ^- Note ( ' ) 

 de M. E. HoLMGREx, présentée par M. Emile Picard. 



1. Considérons une intégrale quelconque de l'équation -r-^ = --^. régu- 

 lière dans un domaine F du plan des œ, y, c'est-à-dire une intégrale z(iv, y) 

 qui est continue ainsi que les dérivées -y^, -r^ dans F. Je me propose de 



caractériser la nature analytique d'une telle intégrale. 



Considérons un point quelconque Xf,, j^ à l'intérieur de F et un segment 

 de droite parallèle à l'axe des y passant par ce point et situé complètement 

 à l'intérieur de F (défini par l'inégalité a'S^y'Sb). Alors l'intégrale z(.r^y) 



pourra se développer dans le domaine défini par les inégalités \x — x^\<!^çt'', 

 aSySb (p sera défini ci-dessous) dans une série de la forme 



où ç;(y)[= r(a-„, y)] et '^(j)] = " "J"' -^ ' sont deux fonctions qui satis- 

 font aux conditions : 



1. Elles ont des dérivées continues de tous les ordres dans l'intervalle 

 a<y<ù. 



II. Ces dérivées satisfont aux inégalités 



M I2 II iM h II 



(3) |a,(«)(^)|<^, |,|ui(v)|<-J^> 



où M et p sont deux constantes positives indépendantes de y situé dans 

 ledit intervalle (-). 



Une fonction /(y) qui, par rapport à un intervalle aSy = b, remplit les 

 conditions 1 et 11 sera appelée dans la suite une fonction de l'espèce o(y) par 

 rapport à l'intervalle. 



2. Considérons le domaine ABCD limité par deux segments de droite 

 parallèles à l'axe des x, AB{y=a) et CD(> = 6, è > a), et deux arcs de 



(') Présentée dans la séance du 16 décembre iqoS. 



(') Voir Arkiv for Malenalik, l. I, III et IV, 1904-1907, Stoctholm. 



