SÉANCE DU 3o DÉCEMBRE 1907. l/joi 



suffisante pour que :-(x,y) soit prolongeable au delà de l'arc AB est que 

 les valeurs que prend s(ir, y) sur chaque arc intérieur A'B de 



AB(n'<7<6', a'>a, l^' < ù) 



définissent une fonction de l'espèce o(y)par rapport à l'intervalle a'^y^b'. 

 4. A l'aide des résultats précédents on arrive à résoudre le problème de 

 Cauchy [pris dans le sens de M. Hadamard (')] pour une courbe réguliè- 

 rement analytique x = '/ (r) de l'espèce du numéro précédent, c'est-à-dire à 

 trouver les conditions pour qu'il existe une intégrale zÇr,y) de (1) définie 



d'un côté de la courbe x^y^(y) et telle que z(j;,y) et "f^'- tendent 



respectivement vers des fonctions données /(j) et g{y)- Si/(r) est une 

 fonction donnée quelconque qui admet une dérivée continue, on trouve que 

 g{y) doit nécessairement avoir la forme ( et cela suffit aussi) 



{y-riY 

 où $(■>') est défini par l'équation intégrale résolue par M. Volterra 



/(7)=/ -^^Le *'>-'>' dr^, 

 'J.t S y — 'n 



et '•!'(/) est une fonction arbitraire de l'espèce (^(y) par rappoj-t à chaque in- 

 tervalle à V intérieur de l'intervalle en question ('). 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur la définition de l'aire d'une portion de sur- 

 face courbe. Note de M. E. Cartax, présentée par M. Emile Picard. 



Dans les définitions habituellement données de l'aire d'une portion de 

 surface courbe continue (et admettant un plan tangent variant d'une manière 

 continue), on fait intervenir des sommes de parallélogrammes situés dans 

 des plans tangents à la suii'ace. Il semjilerait jjIus naturel de considérciY 

 par analogie avec ce qu'on fait dans la définition de la longueur d'un arc de 

 courbe, des sommes d aires de triangles inscrits dans la surface. 11 est, en effet, 



(') Princeton Lniversity Bulletin, 1902, ^\. Journal de Pliysique, 1907. 

 (^) Dans les Notes citées au 11° 1 j'avais résolu notre problème clans le cas spécial 

 X(7) = const. 



