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possible (le procéder ainsi, mais à la condition de prendre une précaution 

 essentielle qui me paraît devoir être signalée. 



I. Pour poser le problème d'une manière précise, définissant une sur- 

 face (S) par les formules 



; x=f{u, (.), 



(0 • / = <?(«, ('), 



OÙ les coordonnées rectangulaires (x, y, z) d'un point de la surface sont 

 exprimées en fonction de deux paramètres u et r, cjue rien ne nous empêche 

 de regarder comme les coordonnées rectangulaires d'un point dans un plan. 

 Nous supposerons les fonctions y, cp, '^ continues dans un domaine borné (D^ 

 de ce plan, et admettant dans ce domaine des dérivées partielles du premier 

 ordre continues. A tout ensemble de points quarrable < E) contenu dans (D) 

 correspond sur la surface (S) un ensemble de points cjui constitue une por- 

 tion de surface (s). 



Pour définir l'aire de (s), décomposons le plan des (a, i' ) eu 

 triangles abc et considérons ceux de ces triangles dont les trois sommets 

 appartiennent à l'ensemble (E). Les points A, B, C de la portion de sur- 

 face (ij (jue les formules (i) font correspondre auxjpoints a, b, c sont les 

 sommets d'un triangle inscrit dans (s). Nous considérerons la somme S des 

 aires de tous ces triangles A15G inscrits dans (s). 



Donnons-nous enfin un angle a. aussi petit que nous voulons, mais fixé une 

 fois pour toutes. 



Cela étant, l'intégrale double 



-ly 







D(.A V) 



du di , 



étendue à l'ensemble (E) du plan des (u, c), jouit de la propriété sui- 

 vante : 



.4 tout nombre positif t on peut faire correspondre un nombre h tel que, si 

 l'on décompose d'une manière quelconque le plan des (u, c) en triangles abc 

 dont chacun soit de diamètre ( ' ) inférieur à h et, de plus, ait l'un au moins de 



(') Le diamètre d'un triangle dont les sommets ont pour coordonnées («,, r,), 

 ("25 ''2)1 ("3j l'sj sera la plus grande des six quantités 



,'>,/ 



3). 



