SÉANCE DU 3o DÉCEMBRE 1907. l/ioj 



ses angles compris entre y. et t. — v.,la somme ^ des aires de cettx des triangles 



correspondants ABC qui sont inscrits dans (s) diffère de I de moins de t. 



L'intégrale double I est donc la limite de la somme "V lorsqu'on considère 



une suite de décompositions du plan des (u, c) satisfaisant à la condition que 

 le plus grand diamètre des triangles tende vers zéro et que chaque triangle ait 

 un angle au moins compris entre xetT. — a. Elle représente ainsi tont natu- 

 rellement ce qu'il convient d'appeler Vaire de la portion de surface {s). 



II. Si on laissait de côté la condition que chaque triangle abc doit avoir 

 un angle compris entre a et t: — a, le théorème serait faux. 



Considérons, par exemple, la calotte sphérique définie par les équations 



OÙ U et V sont assujettis à Tinégalité 



Décomposons le plan des ( u, c j en triangles isoscèles tous égaux entre 

 eux et ayant leurs bases parallèles; si la hauteur est infmiment petite du 



troisième ordre par rapport à la base, la somme V des aires de ceux des 



triangles correspondants qui sont inscrits dans la calotte sphérique aug- 

 mente indéfiniment quand la base commune des triangles tend vers zéro. 



On doit cependant ajouter la remarque importante suivante : £ étant 

 donné, si tous les triangles abc sont de diamètre inférieur à un nombre // 



suffisamment petit, la somme ^ correspondante est certainement supé- 

 rieure à I — £ (' ). 



III. Cette remarque permettrait de donner de l'aire de (s) la définition 

 suivante, où n'intervient plus l'angle a : 



Soit S (h) la borne inférieure de l'ensemble des sommes > correspondant 



aux différentes décompositions du plan de (u, v) en triangles tous de diamètre 

 inférieur ou égal à h. L'aire de ( s) est la limite de -?(/*) quand h tend vers 

 zéro. 



Cetle définition pourrait, semble-t-il, être étendue aux surfaces simple- 

 ment continues, obtenues en supposant que, dans les formules (i), les fonc- 



(') \oir, sur ce point jjarliculier, H. Bairh, Leçons sur les théories générales de 

 l' Analyse, l. I, 1907, p. 210. 



