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lions continues /, ç, <\i n'admettent pas de dérivées partielles du premier 

 ordre continues. La portion de surface (s) aurait alors une aire si, pour 

 chaque valeur de h, S(h) était finie, et si, de plus, SiK) n'augmentait pas 

 indéfiniment quand h tend vers zéro. Mais il faudrait monlrer que, si {s) 

 et {s') sont deux portions de la surface (S) admettant chacune une aire et 

 n'ayant aucun point commun, la portion {s" ) formée par l'ensemble des 

 points de {s) et de {s') admet encore une aire égale à la somme des deux 

 premières ; or cela n'est pas évident. 



IV. Le théorème fondamental énoncé dans cette Note se démontre 

 immédiatement à l'aide du lemme suivant, facile lui-même à démontrer. 



Faisons correspondre à tout point de coordonnées rectangulaires (a, (') 

 appartenant à un certain domaine borné (U) du plan des (m, v) le point 

 du plan des (a:;, y) dont les coordonnées rectangulaires sont définies par les 

 formules 



les fonctions /"et s étant continues dans (D) et admettant dans (D) des 

 dérivées partielles 'du premier ordre continues. A tout nombre t on peut 

 faire correspondre un nombre h tel que, si abc est un triangle quelconque 

 du plan des (»,('), ayant ses trois sommets dans (D), ayant un diamètre 

 inférieur à h et ayant au moins un angle compris entre x et- — a, on a 

 l'inégalité (où les aires ont un signe ) 



aire ABC _ / D (/, y) " 

 aire alic \ D ( «, i^) 



< 



On a désigné par ( tt- ' ' ) lavaleur du déterminant fonctionnel de /"eto 

 » ^ \D ((/,(■)/„ •' ' 



pour un (juclconque des sommets du triangle abc. 



Ce lemme, susceptible d'extension facile dans le cas d'un nombre quel- 

 conque de variables, permettrait de faire simplement la théorie du change- 

 ment de variables dans les intégrales multiples. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les fonctions inverses des fondions entières. 

 Note de M. Pierre Iîoutroux, présentée par M. Painlevé. 



J'ai énoncé {Comptes rendus, 28 octobre 1907) quelques résultats relatifs 

 aux singularités transcendantes de la fonction oc(\), inverse d'une fonction 



