SÉANCE DU 3o DÉCEMBRE 1907. 1407 



entière Y{x). J'ai dit que ces singularités étaient (du point de vue d'une 

 classification que j'ai donnée ailleurs) des singularités de première espèce. 

 Je voudrais aujourd'hui analyser d'un peu plus près ces singularités ainsi 

 que les propriétés correspondantes de Y (a;). 



1. Les langues; leur classification. — Soit ï] une singularité transcen- 

 dante de a?(Y); il existe, dans le plan des x, une infinité de chemins conti- 

 gus, d, s'éloignant vers l'infini et sur lesquels Y tend vers y]. Faute d'un 

 terme meilleur, j'ai appelé langue l'ensemble des chemins </contigus. J'ap- 

 pellerai, pour préciser, langue finie toute langue dans laquelle Y tend vers 

 une limite finie r,, et langue infinie toute langue où Y devient infinie. Cela 

 posé, nous distinguerons les types de langues suivants : 



Premier type. — Langue 4^ dans laquelle Y tend v£rs 7] en s'enroulant un 

 nombre arbitraire de fois (fini ou infini) autour de ce point, mais sans tour- 

 ner (') autour d'une infinité de points critiques algébriques convergeant 

 vers Yj. Dans une telle langue il existe une infinité de chemins infinis d le long 

 desquels Y passe par les mêmes valeurs (suit, par exemple, un même rayon 

 aboutissant en y]). — Dans ces conditions, le point rj est pour la fonction j;_( Y) 

 un des points que j'ai appelés points directement et non indirectement cri- 

 tiques (^). Un tel point ri peut être point limite de points critiques algébriques 

 en même temps que point logarilhmique ; mais alors les permutations opérées 

 autour des points critiques algébriques constituent des impasses (en d'autres 

 ternies on ne peut, au voisinage de y], obtenir une infinité de déterminations x 

 nouvelles à moins de décrire directement autour der\ la suite infinie de tours 

 qui effectue les permutations définissant ■{\ comme point logarithmique). 



Deuxième type. — Langue 4^ dans laquelle Y ne peut tendre vers le 

 point Y] à moins de s'enrouler une infinité de fois autour de ce point en tour- 

 nant autour d'une infinité de points critiques algébriques convergeant vers-/]. 

 Dans une telle langue il existe une infinité de chemins infinis d le long des- 

 quels Y passe par les mêmes valeurs (suit, par exemple, une même spirale 



(') Précisons ce que nous entendons pai- « tourner autour d'un point critique Y)y » 

 Soit r un cercle de centre Y) qui ne contienne aucun point transcendant autre que yj- 

 Je suppose que, d'une manière quelconque, on ait construit un système de coupures 

 joignant au contour F les points critiques situés dans F, ces coupures ne s'enroulant 

 pas une infinité de fois autour d'un de leurs points et ne se coupant pas entre elles. 

 Tourner autour de Yiy, c'est décrire un lacet fermé qui franchisse une J'ois la coupure y),- 

 et ne rencontre aucune autre coupure. 



(^) Leçons sur les fonctions déjinies par les équations différentielles du premier 

 ordre. 



C. R., 1907, 3' Semestre. (T. CXLV, N" 27.) lb6 



