SÉANCE DU 3o DÉCEMBRE 1907. l4" 



théorème de Varignon, qui est analogue au théorème de Saint-Guilhem et 

 exprime en définitive le principe de solidification. La formule qui nous sert 

 de point de dépari et la considération de la forme normale des équations 

 conduisent aux théorèmes de Castigliano, où intervient l'expression qui cor- 

 respond à l'énergie cinétique. 



Indiquons, pour terminer, comment la théorie précédente permet de 

 rassembler, à titre de cas particuliers, tous les résultats obtenus depuis 

 D. BernouUi et Euler sur la statique de la ligne déformable ; les plus impor- 

 tants ont leur véritable origine dans les notions de triédre caché et d^action 

 W cachée. Dans l'étude de la ligne déformable, il est naturel de porter l'at- 

 tention d'une façon particulière sur la courbe dessinée par cette ligne, non 

 seulement pour les diverses formes de la fonction W, mais lorsque, établis- 

 sant entre les arguments de W des relations, on laisse ignorée en quelque 

 sorte la fonction qui a servi de point de départ ou même la fonction résul- 

 tante. Cette dernière notion peut s'interpréter par la considération des 

 déformées particulières de la ligne dé formable générale ; mais il est important 

 aussi de l'envisager comme ont fait Lord Kelvin et Tait pour les liaisons 

 dans la Dynamique classique, ainsi que suivant la méthode de Lagrange, 

 cette dernière conduisant immédiatement à des équations canoniques, pour 

 des formes appropriées des données. 



La ligne que Lagrange qualifie de « fil flexible et en même temps exten- 

 sible et contractible », qui a été étudiée de nouveau par Lamé et par 

 M. Duhem, correspond au cas où W est une simple fonction de *„ et de 

 ^^ -I- y|" -h C' ; en assujettissant en outre ^, y], (^ à la relation ^^ -1- yj- -1- î^* = i , 

 et introduisant la notion d'un W complèlement caché, on obtient la ligne 

 flexible et inextensible de la Mécanique classique. 



Considérons encore le cas où l'on a yj = o, '( = o, l'axe Ma?' du trièdre 

 Wx'y' z restant alors constamment tangent à la ligne déformable; si l'on ne 

 veut envisager que la valeur W, prise par ^\ pour y] = o, '( = o, les quan- 

 tités G', H' se présentent comme des auxiliaires ; leur élimination conduit à 

 ce résultat intéressant qu'en désignant par w l'angle de Mj' avec la normale 

 principale de la courbe (M) et en introduisant l'expression de W, au moyen 

 des dérivées des trois premiers ordres de .r, y, :; par rapport à 5^, de w et de 



-r-> on est amené à un système d'équations qui a de nouveau son origine dans 



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le calcul des variations. Les mêmes considérations s'appliquent encore quand 

 on particularise davantage, en supposant, par exemple, ^ = i , •/] = o, C = o, 

 puis ^ = 1, y] = o, ^ = 0, y:=o; la première particularisation donne la 



