SÉANCE DU 6 JUILLET igo8. Si 



gine, Y^= fi (x^et X =:/"„(>'"). et un point x^, y „ suj^samment prés de /'origine, 

 il existe une seule fonction satisfaisunl à 



ô.r oy ox oy 



continue à l'intérieur du rectangle o^x'^a\ o^y'Sb et telle que 



(2) -^—p,{x) pom- y=/,(a-), 



(3) -^—q^{y) pour x = /;(j), 



(4) tl = u„ pour J-irrXo, J=Vo; 



/;„(.!■), yo(j') ^^'^^ des fonctions données et »„ i/zje valeur donnée . 



Le théorème n'est plus vrai pour certains points a^„. y^ nommés points 

 caractéristiques. Je veux indiquer une métliode très simple pour résoudre 

 le problème et qui donnera des renseignements précis sur la position des 

 points caractéristiques et la façon dont se comporte la solution en ces 

 points. 



Considérons au commencement l'équation plus simple 



(5) - — -— A(^-, 7)k=o. 



La solution de cette équation, qui prend sur les axes des x et des y res- 

 pectivement les valeurs f^(^) et v(j), satisfait, comme on le sait, à une 

 équation intégrale dont la solution peut être écrite sous la forme 



(6) «(X, r) = p.(^)+ / /M(.r,j; i)fx(|)6?>-h7r(7)+ / ' A-,(x, 7; n 7:(?) «?2, 



où 



7î{.y) = '■'(.'■) — ^^(o). 



Considérons ~(y) comme donné et cherchons à déterminer iJ-(x) à con- 

 dition que u(x^ y) satisfasse à la condition (2). Il faut, pour cela, déri- 

 ver (6) par rapport à x et, après, remplacer j^ et y- respectivement par 



fi(x) et p„(x). En désignant y- par iJ-'(x), on obtient, après quelques 



transformations, une équation intégrale en ^'{x) qu'on peut écrire sous la 

 forme 



p„{x) = ni{jr) ^{o) + ^.' {x) + I /t,(.t;c)iJ.'(^)dl+ f h.ix, i) r.[/\il)]dî. 



