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C'est une équation do M. Volterra dont la solution a la forme 



(7) ij.{x)^F{.v)+ij.{o)G{.v)+ f H(a',i:)7r[/,(£)]C 



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On obtient de la même manière 



(8) 7:{x) = M(.r) + f P{j;c)iJ.[f,a)]di. 



En éliminant Ti(a7) entre (8) et (7 ) et en mettant /(a?) =:f.,\f^(.v)], ou 

 a un résultat de la forme 



^(x) = E(.r)-+-J(,r)fji(o)4- r K(a', ; ) f;i[/( ;>] (/;. 



C'est une équation qui rentre dans le type étudié par M . Picard {Comptes 

 rendus, mai 1907). La solution a la forme 



(Jt(j7)=S(x) +pL(0)T(:?'). 



Cette valeur mise dans (8) donne 



7r(.z-) = U(^)4-fji(o)V(.r). 



Ces valeurs de [^.(^7) et tc(j') introduites dans (6 ) donnent un résultat de 

 la forme 



En faisant x = x^, y = J'o et « = u^, on aura une équation pour détermi- 

 ner [t-(o). Cette dernière opér,ation n'est pas possible si le coefficient de 

 [ji(o) est zéro. Alors la courbe fp(x,y) = o sera le lieu des points caracté- 

 ristiques et, pour ces points en général, les conditions (2), (3), (/J) ne peu- 

 vent être remplies. En échange on a une infinité de solutions caractéris- 

 tiques C$(a7, y) dont les dérivées sont nulles sur les courbes données et 

 it„ = o au point .r,,, y^. Dans le cas spécial où, x„, y„ étant un point carac- 

 téristique, lia ^ 'a valeur WÇx^, _r„), [>-(o) reste indéterminé, et alors le 

 problème posé admet une infinité de solutions dépendant d'un paramètre 



X = (/.(o): 



«(.r,i')='F(x,y)-h>.1>(.r,j). 



Dans le cas de l'équation (ij, la solution u(x^y) satisfait à une écpiation 

 contenant u(x, y) sous les signes / et / / . Une telle équation a été trans- 

 formée par M. Volterra (Attï dei Lincei, 1896) dans une des formes ordl- 



