SÉANCE DU l3 JUILLET 1908. II7 



Dans CCS divers cas, chaque système de solutions stables réelles est de la 

 forme 



(4) x, = ...--=.ry=zo, j?;i.= p,,(n £,,)(« -t-0'" (Â=y+i, ...,«), 



a^o, lims^. = pour ^ = + 00 [p, = o, ..., Py=o, pj+,, ..., p„ est une 

 solution réelle de (3)]. De plus, pour ces solutions, lorsque X^ contient x^ 

 en facteur, a-, garde le même signe quand t varie de o à + ce. 



On a encore des résultats analogues pour le système (2), quand on y sup- 

 pose les coefficients des X, légèrement variables avec a?,, . . . , a-,- et même t, 

 pourvu que les | [3, | restent > y (y fi\e > o) et que les coefficients aient une 

 limite pour a;, = . . . = j.-„ = o, l = -i-x. Les formules (4) se conservent, 

 les p, étant une solution du système (3), où l'on remplace les coefficients 

 des X; par leurs limites. Si ces coefficients remplissent les conditions 

 ci-dessus pour tout l'espace (à n dimensions), les conditions p,>y, ..., 

 Pn!> Y sont les conditions nécessaires et suffisantes pour que toutes les solu- 

 tions soient stables quelles que soient les valeurs initiales. 



II. Cas où p est pair. — On a des énoncés semblables pour les solutions 

 de valeurs initiales (/ = o) positives >o, si a?,, . . . , a-^ restent positifs. 

 C'est le cas lorsque, quel que soit /, X', est à la fois de la forme X,-l- Y,- 

 et E',. -h a?,- ^'- (^'i indépendant de x^ et ^o pour x,, ..., .r,., positifs). 



Enfin, si les Y,- sont holomorphes dans le domaine de l'origine, que p soit 

 pair ou impair, les £^. peuvent se calculer, en général, quand on ap^2 

 et / assez grand, grâce à un théorème de M. Poincaré. 



III. Généralisations et applications. — On peut aussi supposer X^ = ^> 



X^. fonction de .r,, . . . , a;,; 11^.= U,-f- R,-, U,- étant un polynôme homogène 

 de degré /?,, R, étant formé de termes de degré >/>,; V, = a;f'(i + Z^), 

 limZ.= o pour r, = . . . = a:,= o; p^, p\ entiers; /?, — /j', >i. Dans des 

 cas étendus, on obtient alors des résultats analogues aux précédents. On 

 rencontre des systèmes d'équations différentielles de ce type (' ) dans l'étude 

 du régime de certains systèmes de n réservoirs, cylindriques ou non. 



Des méthodes semblables s'appliquent à l'étude du régime de sys- 

 tèmes S,, . . ., S„ de n réservoirs, cylindriques ou non, remplissant les 

 conditions ci-après : chacun se vide dans un ou plusieurs des suivants; les 

 exutoires d'un même réservoir sont tous des déversoirs non noyés de lar- 

 geur assez peu variable et de crête horizontale au même niveau, ou tous 



(') Bull, de la Soc. math., t. XXXIII, igo5, p. i3i, iSj. 



C. K., 190S, 2" Semestre. (T. GXLVII, N- 2.) lO 



