Il8 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



des ajutages de sections assez petites et^dont les centres de gravité sont au 

 même niveau; enfin, si un réservoir S, ne reçoit do Tcau d'aucun des autres 

 réservoirs, il est alimenté par un débit permanent A,- ^ o (en particulier 

 A, ^ o). Le régime est alors défini par les ii équations 



Zi —^ = B,- H- bn ;';■ + ...+ /',•,,_, sjr,' — b,iA' ( « = 1,2, ..., n); 



h II et l'une des cjuantilés B,-, é,-,, . . ., /',,,_,, positives ou nulles, restent > y 

 (y fixe > o), et tous ces coefficients sont limités supérieurement, 0,= i 

 ou 3. On vérifie qu'il y a un ou plusieurs régimes permanenls limites (un en 

 ^énèv<\.\) de toute solution. 



ANALYSE MATllÉMAïKjUE. — Sur les produits canonicjues de genre infini. 

 iNote de M. Arnaud Denjoy, présentée par M. II. Poincaré. 



Dans une Note du 29 juin dernier, j'ai énoncé quelques résultats concer- 

 nant les facteurs primaires. Voici les applications que j'en ai faites à la 

 théorie des fonctions entières de genre infini. 



Relations entre l'ordre de grandeur et la croissance de la suite des zéros pour 

 un produit canonique de genre infini. 



Soit 



F(=)=n(' 



au 





le produit canonique considéré, dont nous supposons donnée la suite des 

 modules des zéros et arbitraire la distribution des arguments. Le choix de 

 l'exposant />„ a été expliqué dans une Note du i3 janvier 1908 et il sera 

 pi'écisé ci-dessous. 



Soit /•„= |rt„|. Nous posons logr„ = a:^'„, log«= y„, et nous interpolons de 

 façon à avoir une fonction y(x') continue et croissante, telle que j'(a'„)= y„. 

 Posons \z\-=. r z=^ è^ et r(X)— Y. Nous supposerons l'interpolation telle 

 que y soit munie de dérivées continues, au moins jusqu'à l'ordre deux.. 

 Si nous exigeons que y' {x^ soit une fonction non décroissante, le fait que 

 la suite /■„ soit de genre infini équivaut à limj' = oo. 



•t' 00 



Los hypothèses qui permettent d'obtenir des évaluations précises sont à 

 deux degrés. 



Hypothèse A : y' simplement non décroissant, ou ^"^0. 



