SÉANCE DU l3 JUILLET 1908. I 19 



Hypothèse supplémentaire A' : si a;, = a-- + -^> h étant fmiment grand, 

 le rapport '^ tel que /((-^ — i ) ^ o îend vers i. (Hypothèse en parti- 

 culier réalisée si ~ tend vers 1 . 



Hypothèse B, plus précise : si a;, = .r 4- ^p=i -4 tend vers i . Celte con- 



r" ... 



dition entraine Uni ^^ ^ o, mais n'est pas incompalihle avec une croissance 



accidentée de y puisque y" peut coïncider avec des fonctions ; -,■> si 



' r i . f (^a — jo)- 



voisin que a^<[rt soit de f/, pourvu que les b de ces fonctions tendent vers 



zéro. 



S'il est impossible de trouver une fonction interpolatrice y satisfaisant à 

 l'une ou l'autre de ces hypothèses, on comprend )' enti^e deux fonctions j^, 

 et y., y satisfaisant. Il est possible de trouver j, et j, louchant y en une 

 infinité de points s'éloignant à l'infini. 



Dans tout ce qui suit, £ sera un nombre positif qui tend vers zivo avec 



:^, cl a un nombre Ï\\q arbitrairement petit. 



Maximum de \o^\¥(z)\ pour \z\ --=e^. — I^a limite supérieure de ce maxi- 

 mum est 



l\(K) = e^'[z\ logX. . .log} + «X + ('2 -H ï)LogY; ]. 



Cette formule convient à l'hypothèse A, et, quel que soit l'ordre de crois- 

 sance donné à l'avancT» d'une suite de zéros, on peut en choisir les modules 

 elles arguments de façon que le produit canonique correspondant surpasse 

 (i — a) P,(X), sur une infinité de cercles infiniment grands. 



L'hypothèse B contient toutes les conditions (remplies par les fonctions 

 très régulières) pour que la limite supérieure puisse être déterminée asymp- 

 totiquement d'une façon exacte. On trouve, pour limite supérieure, 



Y' -y^K I 

 y/Y^ 2 y/y^ 



ni(X)=:e^'.£XlogX...loo) + «X+ (2 + £)eV,l L 



En changeant z en — a dans le second ternie, on a une expression qui 

 peut être dépassée pour une infinité de valeurs de x, avec une répartition 

 cou vénal lie des arguments, quelle que soit la suite des modules des zéros, 

 supposée donnée et satisfaisant à l'hypolhèse B. 



VxLEun Dii l'exi'osxnt dk cox vehgenciî ; i" JJy/iol/icse \. — P, s'obtient 



