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en définissant^ par 



y'-\ h... H j j 1 j j =p + d 



avec o<0 <i. Soil A(\r) = — loe-4 ,~1 • On n y' -h- JV ( x) -- n -j- . 



Si hogy' est infiniment petit par rapport à e\ on peut réduire P, (K) à 

 son premier terme. Sinon, on le réduit à son second, et Ton peut déliuiry> par 

 la condition de surpasser y'— 1+ A''(x) et d'être au plus égal au plus grand 



des nondn'cs y' ■+- A'(>r) cly' -h —h Loij;.,.x' (A (iuiment graud et variantar- 



bilrairement). D'ailleurs riiypothèse A fait place à celle plus large qu'il y 

 ait un entier croissant compris dansées limites {cf. avec une hypotlièsc ana- 

 logue de M. P. Boulr.aix dans le genre Uni), ('eci parait établir une déli- 



milation entre les diverses fonctions de nenre infini suivant (lue / -, — '- — : a. 



ou non un sens, le second cas donnant des fonctions voisines du genre fini. 



Comme cas se rapprochant de la limite, on a log/i =; r, c'"k''"S: '"•••, avec 

 p = log« = r, .... 



2" Hypothèse ]^. — L'exposant yO = y' zt £ \/j^" donne, quelle que soit la 

 façon dont £ tend vers zéro, la même limite supérieure H,. 



Limile inférieure du maxinnun. — Ce sera dans tous les cas 



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Limites des zéros influant sur le maximum. — Si y lui-même satisfait à B 

 (dans ce cas, on peut prendre j, = y =,v^), le maximum n'est modifié que 

 d'une quantité relative infiniment petite par les variations simultanées d'ar- 

 guments des zéros tels que 



/• 



>— • 



Fonctions très régulières et à croissance ra/iide. — Exemples : Pour des 

 fonctions à croissance très régulière (telles que des combinaisons d'expo- 

 nentielles et de logarithmes), on a y'^y'-*^, y = v''^^ \os formules de- 

 viennent U,{\) = (i -h t)nL.,n [à remarquer que P, donne déjà la li- 

 mite (2 -h £)«L.,«|; p= y'( i ±-J=.]; Q„(X) = (i — t)n X ^,°°' • 



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Ainsi, soit /•„= ( log^n)'^; si e^. est la fonction inverse de log^, on a 



p = alog« . . . log>« ( I ± ), et le module maximum est inférieur à 



