SÉANCE DU 20 JUILLET 1908. l'j'j 



des tht'orônies de MM. Poincarc (') et Liapounoir(-) sur la stabilité, et j'ai 

 abordé aussi l'étude d'un cas de doute qui a été traité par M. Painlevé (') 

 pour quatre équations canoniques (deux variables avec fonction de forces). 

 C'est le cas de deux racines imaginaires pures avec une racine nulle, qui 

 n'est pas traité dans l'admirable et jjjrand Mémoire de M. Liapounoff publié 

 récemment {Annales de Toulouse)^ et qui est très intéressant comme étant le 

 seul cas de stabilité pour les fluides à densité analytique et non nulle : la 

 stabilité doit être entendue en ce sens qu'une particule du fluide qui est 

 voisine de la position d'équilibre à l'instant /„ en reste indéfiniment voi- 

 sine. 



Supposons un tel fluide soumis à un régime permanent. La première 

 chose qu'on se demande est le nombre des positions d'équilibre dans une 

 région R. Ce nombre sera donné par le résidu de l'intégrale de Kronecker si 



la région R n'est pas coupée par la surface s = .-r ' ' "^ =; o, ;/, v, tr dési- 

 gnant les vitesses supposées analytiques. Supposons que l'origine soit une 

 position d'équilibre. On aura 



— =:ax -\- by -h cz -h. . ., -^ = a' x + b' y -{- c' z -h . . . , 



^^a"x-^b"Y + c"z+.... 

 al 



Parmi nos résultats, nous allons énoncer ces théorèmes : 



1 . Toutes tes positions d'équilibre d' un liquide ou d'un gaz à densité analy- 

 tique et non nulle sont instables, sauf celles qui peuvent se trouver sur la 

 surface S = o. 



2. Le mouvement général d'un liquide (ou gaz de la nature indiquée) ne 

 peut jamais cire développé en série de pj-oduits de puissances a,e'"', Coe'»', 

 cc^e^'', les a étant tous différents de zéro. 



Ces deux propositions résultent de ceci : que la somme des racines de 

 l'équation déterminante A, + À^ + A3 doit être nulle si la densité ne s'annule 

 pas. 



(') Journal de Lioicille, 1881, 1882, i885. 

 {^) Ici., 1897. — Annales de Toulouse, 1907. 



(') Voir plusieurs Notes : Comptes rendus, 1897 et igoS. Pour les équations de 

 Lagrange, voir le Mémoire de M. Bolil (Journal de Crelle, 1904). 



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