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3. // existe quelques trajectoires particulières stables (') qu'on obtient en 

 prenant a, = o pour | e''' | > i . 



4. Lorsqu'il existe un potentiel des vitesses toutes les positions d'équilibre 

 sont instables, car, le tourbillon à l'origine étant nul, les solutions de l'équa- 

 tion déterminante seront réelles et n'auront pas le même signe (on suppose 

 «, è, c, ...,c"^o). 



Reste à étudier le cas de doute. C'est celui où l'équation déterminante a 

 une racine nulle. Dans ce cas, § ^ \ahc\ -\-... s'annule aussi à l'origine. Il y 

 aura une droite, l'axe des tourbillons, qui, pour les positions d'équilibre, 

 joue un rôle double (-). ÎNous avons deux cas à distinguer : 



i" Sè'c' — c'b" <^ o. On aura instabilité. L'origine jouera le rôle analogue 

 à un col. 



2" Sic"— c'b"^ o. Les racines seront imaginaires pures. Nous pouvons, 

 par une transformation linéaire, obtenir un mouvement de la forme 



dx dy dz ,, . , „ „ „ „ 



qui, en tenant compte des termes du premier ordre seulement, nous don- 

 nera encore le mouvement d'un liquide, dont le tourbillon à l'origine sera 

 ^ ^ Y] = o, C = •» mais qui, en tenant compte des termes d'ordre supérieur, 

 peut représenter le mouvement d'un lluide dont la densité peut même 

 s'annuler. 



On peut chercher s'il y a de petites surfaces holomorphes F jouant le 

 rôle d'un vase enfermant le fluide sur les parois duquel s'écoulent les 

 filets. 



On constate que c" = o est une condition nécessaire de l'existence de ces 

 surfaces fermées et qu'elles auront la forme 



£ = x^ -+- y^ -H c ;■- H- F3 -I- Fi -(- . . . ; 



c sera déterminé en même temps que F,. Soit c> o. Si l'on peut calculer la 

 Suite des F convergente, l'origine sera un centre et l'on aura stabilité à la 

 Poincaré et Poisson (^stabilité réversible, trajectoires /ez-mee^, parcourues 

 périodiquement) . 



(') Nous considérons la stabilité à la LiapouiiolT ( seulement pour / croissant). 



(-) Pour les racines communes, multiples, à plusieurs équations, voir les Notes 

 de MM. Davidoglou et Tzitzéica {Comptes rendus, 1901) et Picard [Analyse, t. II, 

 1905, p. 2l4). 



