SÉANCE DU 20 JUILLET 1908. i ^g 



Dans le cas contraire, on sera arrêté après un terme F,„, qu'il soit de rang 

 pair ou impair. Suivant que m = 2n ou m = 2n — i, on pourrait déter- 

 miner Fjn^., ou F.,„ tel que 



rit 

 c/(F3 + . ■ ■ + F,„) 



A-P2„H-3^P,(„_„ + ...-4-^2«p^^ 



les P étant des polynômes homogènes en x et v de degré égal à leur indice. 

 Les termes de degré impair en x et y pourront toujours être réduits. 

 Soit m = 2n — I. Si le cône X-Po„H- =-P2;„_,)+ ::'-"P„^ o est imaginaire, et 

 cela peut toujours se voir par la discussion d'une équation numérique, car on 

 peut rendre Pocn-/,) = '""'""*' (r- = a:--i- y-) après cette opération, si Ton 

 trouve /(- <^ o, on aura stabilité ( ' ) ; si X- ]> o, instabilité (ce cas n'arrive pas 

 pour les liquides). Si le cône est réel ou si m = an, on aura en général 

 des trajectoires stables et instables qu'on pourrait séparer. 



Voici un exemple où l'on aura toutes les solutions stables. Supposons 

 qu'on soit arrêté au terme F3. On peut déterminer F^£ = a:"--|- v- + c;--f- F3 



tel que 



r/(F, + F,) 



(It 



= — 2 ; [( ca" -\- 1 e) X- + {cb" + 1 d' )y- ] + . 



Supposons que a" x- -i-. . .-t- 'i f" xy soit une forme quadratique négative 



e d' ■ . ■ ■ 



et que -, ^c^ et — — , = r^ soient positifs et différents. Si^j, est négatif, 



le mobile descend lentement tout en restant à l'intérieur de la petite surface 

 ellipsoïdale £ = a;- + y- -1- c,:;- -h F^ et à l'extérieur de la petite surface 

 £ = a:;--l- y- -1- r^r- -1- F3, c^<^c.,. Si ::o est positif, l'inverse arrive ; le mobile, 

 s'approchant du plan xOy^ pourra le traverser, pour s'approcher de l'axe 

 des z négatifs. Le fluide s'allongera, formant un petit cornet autour de 

 l'axe Oz. 



( ') Il ne peut pas exister de cycles limites Fj-i-. . . -|- Fj,^ rt ^ o à l'intérieur de 

 tout ellipsoïde x'+y'-t- c^'-=: £ ni même à l'extérieur à toute distance finie. L'origine 

 sera un fover. 



