[8o ACADÉMIE DES SCIENCES. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur ks solutions périodiques d'une équation 

 fonctionnelle linéaire. Note de M. EitxEsr Esclangon, transmise par 

 M. Painlevé. 



Dans une précédente Note (') j'ai montré que l'équation fonctionnelle 



(1) e(jrH-/i«) 4-Ai5[j:' + (« — r)«] -H-- ■ + A„9(x) = 9(x), 



OÙ est la fonction inconnue, A,, ..., A„ des constantes, cp(a?) une fonc- 

 tion de période b incommensurable avec a, admet toujours une solution 

 périodi(jue de période b et une seule lorsque l'équation algébrique 



(2) /-"H- A,r"-' + ...-l- A„=o 



n'admet aucune racine de module égal à l'unité. 



Si l'équation (2) admet une racine p telle que | p | = i , la recherche d'une 

 solution 0(^7) périodique se ramène à celle d'une fonction X(.'r) telle que 



l(x + a) — plij') = 'hi-v), 



OÙ 4'(^) 6St une fonction connue de période b. 



Parmi les équations de cette dernière forme, celles où p =; ± i jouent un 

 rôle prépondérant et se ramènent d'ailleurs l'une à l'autre. 



Envisageons donc l'équation (-) 



(3) e(x-ha) — 9{x) = <f>(ji-), 



dans laquelle on ne fait d'autre hypothèse que la continuité de la fonction 

 donnée 9(.^), supposée périodique de période b. Nous nous bornons d'autre 

 part aux solutions continues. 



Deux cas seulement peuvent se présenter : ou bien toutes tes solutions 6 

 sont bornées, ou bien toutes sont illimitées, puisque deux solutions quel- 

 conques difterent seulement d'une fonction de période a. 



Il est intéressant de savoir si, dans le premier cas, il n'existe pas une solu- 

 tion périodique, auquel cas toute solution G est de la forme 



9 = w(:r) + t'(j:'), 



(') Comptes rendus, 20 janvier 1908. 



(-) Ce problème a été envisagé dans le cas des fondions analytiques et notamment 

 des fonctions entières. 



