SÉANCE DU 20 JUILLET 1908. 181 



Il étant une fonction quelconque de période a, v une fonction déterminée de 

 période h qui a nécessairement pour expression 



,. no{x)^{n — i) o(j.- 4-«) -H. . . + o[x + (« — i)a] 



('( j") ^ — h m — ' '■ — • 



ri 



Je me propose d'établir les deux propositions suivantes : 



1° S'il existe une solution bornée R(.r)î uniformément continue dans l'in- 

 tervalle ~ ce à. -h X, il existe une solution périodique. 



2" Dans tous les cas, lorsque les solutions sont bornées, l'intégrale indéfinie 

 de toute solution 0(.r) se met sous la forme 



U(d?) -I- V(j") H- Am- (A=const.), 



U étant une fonction de période a, V une fonction de période b. 



En effet : 1° si R(a') est uniformément continue dans l'intervalle — ac 

 à -h 30, les fonctions 



R(.r) + R(j; + 6) + ...+ R[x-K/t — 1)6] 

 «'«(■^)— „ 



6ont limitées dans leur ensemble et également continues (' ). D'après un théo- 

 rème de M. Arzela, elles admettent donc au moins une fonction limite 

 continue ^(^)- Les fonctions f„ satisfaisant toutes à l'équation (3), il en est 

 de même de v(x). De plus, t'(a;) est périodique et de période b puisque R(-î') 

 est bornée. t'(^") a donc nécessairement pour expression 



, , ,. n (c(.z-) + (n — i)(d(x -h a) -h ■ . ■+ (bÏj: -h (n — \)a] 

 r(A') = — uni — ^-^ — ^ ■ — -1 



ce qui assure l'existence de la limite du second membre de cette formule et 

 montre que les fonctions t'„ n'admettent qu^ une fonction limite. 



2" Faisons la seule hypothèse que RÇî") est bornée. On en conclut que 

 les fonctions 



(p„( j;-) = o(j?) -H cp(^ -i- «) + . . . + 9[x H- (« — l)a] 

 sont bornées dans leur ensemble. Cette-condition exige que (^(x) ait une 



(') Suivant une milion introduite par Ascoli dans l'élude des ensembles de fonc- 

 tions. 



