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moyenne nulle. Si l'on pose alors 



<l>(.r)-- f cp{a;) + C, 



on peut déterminer C de façon que $(r), qui est périodique, ait une 

 moyenne nulle également. Dans ces conditions, les fonctions 



^,^{x) = <P{x)-h<b{j^-^a) -h. . .-i-<b[x-h{'i —i)a] 



sont bornées également dans leur ensemble, comme on le voit aisément ('). 

 On en conclut immédiatement que les fonctions périodiques 



^ «&i+«&-, + .. -i-«I>„ _ /i<l>(^r)H-(/i — i)»I>(j; + «)+■■■ + «!'[.)" + (» — !) g] 



bornées dans leur ensemble ainsi que leurs dérivées, sont es^a/ement conti- 

 nues et admettent au moins une fonction limite Y. Cette fonction est pério- 

 dique et satisfait à la relation 



\ (x -i- a) —Y (œ) = <b{x). 



On en conclut que toute solution de l'équation fonctionnelle 



(4) 0(,r-H3) — 0(x) = *(a;) < 



est de la forme U(a:) + Y(x), U étant une fonction périodique quelconque 

 de période a. 



(') On peut écrire en elVet 



^{x -h na) =: I "ifi^x -\- na) dac -\- Cn, 



les constantes c„ variant avec /; ; par suite, 



*«= / ^n{^)dx + y„ (y„ = const.); 

 <-'o 



mais 4>„ est une fonction périodique à moyenne nulle; on obtient toutes ses valeurs en 

 faisant varier ^ de o à 6. 

 Puisque | ©„ | < A, on a 



•^0 



{x)djc 



<b\, 



et, comme <ï>„ est à moyenne nulle, il faut que | //j | < ^A ; par suite, | <!' | < 2 bA. 



