SÉANCE DU > AOUT 1908. ■2()7 



(lu'iillos cngendrenl des surfaces il, normales à S le long de ces lignes. Or 

 ceci se traduit par l'égalité 



ou 



(1) Gdv -i- Kdt = o, 



en posant 



r/z — ry 



Il faut alors et il suffit que l'équation difTérentielle (i) ait une intégrale 

 générale indépendante de //, ce qui exige 



(a) G- A— -=o. 



^ ' du Ou 



Cette relation, qui est linéaire et homogène en H, y], . . . , /•, doit avoir lieu 

 quelles que soient les valeurs de u, c, /. Elle est de forme classique. Nous 

 allons la discuter. 



Premier cas. — E, Y], ..., /sont proportionnels à des constantes S„, y],,, ■..,/„. 

 On a alors un mouvement hélicoïdal. La surface (S) doit satisfaire à l'équa- 

 tion 



(3) L.— Aa-j— = 0, 



^ ' Ou ou 



d'où 



G = A„V, 



V étant une certaine fonction de c. qu'on peut d'ailleurs supposer égale à i, 

 en choisissant convenablement l'argument v. De sorte que le problème 

 se ramène, dans ce cas, à la recherche d'une surface S qui, rapportée à ses 

 lignes de courbure, satisfasse à la relation 



(4) G=:A„. 



On doit évidemment avoir aussi la relation obtenue en échangeant ;/et c; 

 mais la relalion (4) suffit à elle seule. Remarquons encore que la rela- 

 tion (3) est la traduction analytique d'un théorème dû à M. Fetol et que 

 nous n'énonçons pas, pour abréger. Disons enfin que l'équation (1) devient 



alois 



(' -H < 1= consl., 



