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fixe M' de A décrira sur S' une courbe analogue C'. En particulier on re- 

 trouve le résultat établi par M. Darbou\ (pie la deiiv points M, et AL décri- 

 vent les déformées de deux parallèles d'un même hyperholoïde . ( )n voit en 

 outre (pie, dans le cas actuel, il y a une infinité de points dont les vitesses ojit 

 des directions fixes. 



Supposons maintenant, les vitesses de M, et IVL, normales à M, Mo. Dans ce 

 cas, A coïncide avec M, Mo et le raisonnement précédent est en di'-faut. l'^^l'ec- 

 liveinent, M. Darboux a prouvé que le point M,, par exemple, pouvait 

 décrire une courbe arbitraire C,. La courbe C^ sera alors une trajectoire 

 sous un angle constant des lignes de courbure d'une surface canal dont la 

 ligne des centres de courbure serait C,. ( )n déduit de cette simple remarque 

 que si deux courbes Co et C., sont tangenlcs en un point et correspondent à 

 une même courbe (],, elles coïncident. Or, si nous revenons au nmuvement 

 de tout à rbeure, on voit immédiatement que les courbes C et C sont dans 

 la correspondance actuelle. Je dis quV« déformant la sur/ace réglée (\\) en- 

 gendrée par M ^ M. ^, on peut amener (1, et C^à êtredans laposition des courbes 

 C et (]'. En eflel, traçons un cercle F langent en M, à C, et considérons un 

 byperboloïdc de révolution (H,), dont Taxe passe par Mo, dont une généra- 

 trice passe par M, cl soil perpendiculaire à la tangente en Mo à Co, et enfin 

 qui contienne le cercle F. Un raisonnement intuitif montre qu'on peut dé- 

 former à la fois (H| ) et (R ) de façon que les deux courbes C, et F viennent 

 coïncider. Or F devient une courbe C, et le point M.^ décrit une courbe C'. 

 En s'appuyant sur la remarque faite plus haut, on en déduit que ("-^ vient 

 précisément coïncider avec C', car ces deux courbes sont tangentes en M^. 



On peut voir qu'il y a dans le cboix de la surface (H,) plusieurs arbi- 

 traires et en profiter pour que les courbes C et C' proviennent par défor- 

 mation de deux parallèles d'une même surface gaucbe situés à des dislances 

 arbitraires du cercle de gorge. En particulier, ces deux parallèles peuvent 

 être confondus avec le cercle de gorge. Alors les courbes C et C sont deux 

 courbes de Bertrand associées et l'on retrouve un résultat de M. Darboux. 



Supposons maintenant que la figure F se compose de plus de deux points. 

 J'énonce simplement les résultats : 



Si l'on a trois points en ligne droite à vitesses oblicpies, on est dans le cas 

 du premier mouvement étudié. 



Si l'on a trois points en ligne dtoiie à vitesses normales, ils décrivent des 

 courbes provenant par déformation de trois hélices d'un hélicoïde gauche à 

 plan directeur. La droite qui les porte est donc constamment binormale 

 d'une coui'be à torsion constante. 



