SÉANCE DU 17 AOUT 1908. 36ç) 



liffiie considérée. Or on a 



's' 



Op, a., ' dp, «i 



Ainsi, pour que la ligne d'indice «soit circulaire, il sera nécessaire et suf- 

 lisant qu'on ait 



Si donc on a 



(',3) 6'=e\ d\=:e-;. b; 



toutes les lignes de courbure seront circulaires, et vice versa. 



Remarquons que les é(juations (43) seront toujours vérifiées, si le système 

 est réversible. Car elles sont de simples conséquences des écpiations (4o). 

 D'ailleurs, on obtient évidemment les solutions les plus générales des équa- 

 tions (43 ) en ajoutant des constantes arbitraires aux solutions des équa- 

 tions (4o). Si l'on se reporte aux équations (3j), on voit que les systèmes 

 orthogonaux correspondant aux solutions 0, des équations (4^) ne diffèrent 

 pas essentiellement des systèmes réversibles, qu'ils s'en déduisent par une 

 simple translation. Si l'on néglige cette translation, on peut dire que les sys- 

 tèmes réversibles, pour lesquels les fonctions G doivent satisfaire aux équa- 

 tions (4o)j sont caractérisés par cette propriété d'avoir toutes leurs lignes 

 de courbure circulaires, c'est-à-dire d'être formés de cyclides de Dupin ou 

 de leurs variétés. 



7. Si nous écartons toujours le cas limite où h serait nulle, les solutions 

 générales des équations (4o) ^ont fournies par les formules 



(44) 9=(:« + D«, 9, = Clal^-D,rt',, Qi—C,a,-i-T>,a'^, 



où C,et D, désignent des constantes. Alors les équations (33) qui définissent 

 le système triple prendront la forme 



7 «,7 — a'js =(C,H-D,)/iS 



(45) ■ a,3 — «'.r =:(Ci,+ D )/^^ 



( «./■ -«,j=(C H-D,)/i', 



qui montre qu'on pourrait, sans restreindre la généralité, annuler les trois 

 constantes C, ou les trois constantes D,. 

 l'osant 



(46) C,-(-D,= «, C,+ D = |3, C-HD,-y, 



