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on a, pour définir le système triple, les trois équations 



(47) a^z —a'x —^h\ 



I ax — a\y := y h*^ 



qui permettent de l'étudier complètement. , 



On peut aisément, en utilisant la condition 



obtenir l'équation de chacune des familles qui composent le système triple. 

 On aura, par exemple, 



et, après quelques transformations, il viendra 



•i---h y--hz--h(y'—x-—lfi')/i-—2(^a'-i- ya)x = 2xa\z. 



On se servira des relations 



a'x-^P,h'-=a,z, al — a'.* = /i' 



pour éliminer p^j; et l'on obtiendra l'équation de la famille de paramètre p 

 sous la forme : 



(48) [x'- ^y^^ Z-- ip- + x'- - y-) h^-2{^a' + ya)xY = ^x'-[(a' X + ^ /i^y— /l'z'']. 



Si l'on avait dirigé autrement l'élimination, on aurait obtenu cette même 

 équation sous une autre forme : 



(49) [x- + y-' + z' + {x'- -h y- - ^^) /i^ - 2(^a' + y a)x]-^ ^<x'-[{ax - y h'-y + />\v^]. 



L'une et l'autre de ces deux équations mettent en évidence une famille de 

 cyclides de Dupin. C'est ce que montrent aussi les formules qu'on obtient 

 en substituant dans les formules générales les valeurs de 0, 0,, O3 qu'on peut 

 réduire, nous l'avons vu, à ^a', ya\, aa'.. respectivement. 



On aura ainsi, d'après les formules (35), 



-H-«-w-+'^-^vNr + /-vr' 



, - X ) ■• f^î^i n (fOi a, a' 



W '^ W ' w 



a' a. r^aot a^a' 



