372 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



Les cyclides qu'elle représente ont pour points coniques fixes les deux 

 points dont les coordonnées sont 



Si l'on fait une inversion ayant l'un de ces points pour pôle, on transforme 

 le système triple en celui qui engendre les coordonnées polaires et qui est 

 formé par une famille de sphères concentriques, une série de cônes de révo- 

 lution ayant pour axe un diamètre fixe de ces sphères, et enfin une famille 

 de plans passant par ce diamètre. Les systèmes que nous avons rencontrés 

 ici et qui sont définis par les formules générales (35) sont donc identiques 

 à ceux que nous avons signalés au n" 1059 de nos Leçons sur la théorie 

 générale des sur/aces el les applications du Calcul infinitésimal. 



Si A^ était négatif, on verrait facilement qu'il faudra prendre pour pôle 

 de l'inversion l'un des points dont les coordonnées sont 



X = o, y rr o, z-=i±xhi. 



Le cas particulier que nous venons d'examiner ofi're l'avantage de nous 

 conduire à une construction élégante el précise de nos systèmes orthogo- 

 naux les plus généraux. Pour plus de simplicité, bornons-nous au cas où h 

 est positif. Alors, si l'on soumet les trois familles représentées par les trois 

 équations (^a) et (53) à l'inversion définie par les formules 



X y — ah -z la"- li- 



elles se transforment, comme nous l'avons indiqué, dans les trois familles 

 représentées par les équations suivantes, 



(55) l /=5'J(eP.-t--P.), 



x'^-^Y'^—y{ef—e-f'Yx'\ 

 4 



qui engendrent le système des coordonnées polaires. Et, comme nos systèmes 

 orthogonaux ont tous la même représentation sphérique, on voit qu'une 

 simple inversion pourra faire dériver, du trièdre (To) relatif aux coordonnées 

 polaires, un trièdre afTérent au système orthogonal obtenu par l'inver- 

 sion (54) et qui aura même orientation que le trièdre (T) de nos systèmes 

 triples les plus généraux. Ce point étant acquis, le reste ne présente plus 



