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378 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



et <|^( j) sont deux fonctions entières de y satisfaisant aux identités 



i 9{y-f- 2J7r) = 9(j), >\i{y -h ^iv:) — C^iy), 

 I 9(j + '(3') — ?(7) = ^(j-+-'(3) — +(r)- 



L'expression générale de /(x, y) dépend ainsi de la recherche de toutes 

 les fonctions entières satisfaisant aux équations (i). 



On peut toujours trouver une fonction entière G (or, y) satisfaisant aux 

 relations (i), où nous supposerons pour plus de simplicité [x = i, lorsque 

 <p( j) et ^( y) sont deux fonctions entières arbitraires satisfaisant aux iden- 

 tités (2). 



Pour y parvenir, on pose 



F(y) = ^ [">J'(y + '(3) - W (?(y + e(3')] 



et l'on forme une fonction entière, convenablement déterminée, qui s'an- 

 nule lorsqu'on y remplace x par l'une quelconque des valeurs données par 

 les relations 



a; =r h m w + « w' -(- F ( y — mi<^ — " ^ P' ) > 



OÙ m et n prennent toutes les valeurs entières, positives, néi^atives ou nulles. 



De ce résultat on conclut : 1" que dans les équations fonctionnelles (i) 

 on ne peut pas, dans le cas le plus général, en multipliant g^ (x, y) par une 

 fonction entière qui ne s'annule pas, faire disparaître ^(y) et '\'(y) des expo- 

 sants de e sans compliquer par ailleurs ces exposants ; 2° qu'on peut toujours 

 faire disparaître ces deux fonctions, sans que les exposants de e soient' 

 modifiés par ailleurs, en multipliant par une fonction entière qui s'annule. 



Car, ip(j) et ^(y) satisfaisant aux identités (2), il en sera de même de 

 ~ ?(y) ^'- ~ 'K.X)- O" peut donc trouver, d'après ce qui précède, une fonc- 

 tion entière G,(.r, y) pour laquelle on ait 



Gi(j', J+ 2«7:) =:G,(x, y), 



G,(a;4-M, y + ip) =ze-9WG,{a:,y), 



G, {X + to', y + i^') = e"'^"'"~-" G, {.r, y). 



Les produits H, (a;, y) et }io(x, y) de g, (a-, y) elg.^(a:, y) par G,(.r,y) 

 satisfont alors aux équations 



H*(^, y H-a/Tr) =H^.(A-, y) 



,3^ I H/^-Cj-h-',,, r-+-(',3) =H/,(.r, y), •, (/,._,_2). 



H/,(.r + w', y + tp') = e '^' H/,(x, y ) 



