4oo ACADÉMIE DES SCIEKCES. 



Les premiers sont définis par les équations 



(57) s=o, x=—^, y-+x-+ k = iyax. 



* 



L'élimination de p nous conduit à la courbe plane 



OU 



(C) (r2-t-a-2)2-t- 2A7=— aBx'— A = 0. 



En prenant de même les deux autres points coniques définis par les 

 équations 



(58) 7 = 0, a.r = yh-, x'^-i- =■— A. — i^a' x = o, 



on trouvera qu'ils sont sur la courbe ayant pour équation dans le plan 

 des xy 



(B) (.r-+ 3=)--h2C.r2— iAz-—A = o. 



Les trois courbes planes situées dans les trois plans coordonnés et dé- 

 finies par les équations (A), (B), (C) forment un ensemble grâce auquel 

 nous allons obtenir le résultat cherché. 



Il résulte en elïet déco qui précède que lescyclides de la première famille 

 passent par la courbe (A) et ont leurs points singuliers situés deux par deux 

 sur les courbes (B) et (C). Il résulte même des formules (07) que, pour en- 

 gendrer une des cyclides, il suffit de prendre deux points de (C) situés symé- 

 triquement par rapport au plan des .r; ou, si l'on veut, par rapport à 

 Taxe y = o, et de construire les cercles qui passent par ces deux points fixes 

 et les divers points de (A). On engendrera ainsi les surfaces de la première 

 famille. On pourra les engendrer encore en utilisant les formules (r>S) et en 

 faisant passer, par deux points de B situés symétriquement par rapport au 

 plan des xy ou à l'axe : = o, des cercles assujettis à rencontrer (A). 



Si l'on remarque maintenant que les courbes (A), (B), (C) se déduisent 

 les unes des autres par des permutations circulaires effectuées sur x, y, : et 

 sur les constantes A, B, C, on voit immédiatement que les deux modes de 

 génération obtenus pour la première famille s'étendent par des permutations 

 circulaires aux deux autres familles de surfaces orthogonales. Ainsi les 

 cyclides de paramètre p, passeront par {B) et auront leurs points coniques 

 sur (A) et sur (G); les cyclides de paramètre p^ passeront par (C) et 

 auront leurs points coniques sur (A) et sur (B). 



