SÉANCE DU 24 AOUT 1908. l\Ol 



De cette triple génération il n'est pas difficile de déduire une relation 

 fondamentale entre les trois courbes (A), (B), (C). 



9. C'est une proposition connue, et d'ailleurs facile à vérifier, que le 

 point-sphère ayant pour centre un point conique de la cyclide de Dupin 

 touche cette surface suivant deux droites isotropes ('). Il résulte de là que 

 ce point-sphère est coupé par un plan quelconque, suivant un cercle tangent 

 en deux points à la section de la cyclide par ce même plan. Ainsi les points 

 coniques de la cyclide de Dupin sont des foyers pour toutes les sections planes 

 de cette surface. 



Si l'on rapproche cette proposition générale des résultats obtenus, on 

 reconnaît immédiatement que les trois courbes planes (A), (B), (C), qui 

 sont des cycliques ou, suivant une dénomination plus commune, des quar- 

 tiques bicirculaires, sont les focales les unes des autres. 



Dans mon Ouvrage Sur une classe remarquable de courbes et de surfaces 

 algébriques et sur la théorie des imaginaires, j'ai étudié complètement les 

 propriétés focales de ces courbes et, plus généralement, des courbes qui ré- 

 sultent de l'intersection d'une sphère et d'une surface du second degré. Cette 

 théorie est aujourd'hui bien connue. On sait que chaque courbe de ce genre 

 admet quatre focales. Les cinq courbes ainsi obtenues sont les lignes doubles 

 d'une développable isotrope, c'est-à-dire circonscrite au cercle de l'infini; 

 de sorte que chacune d'elles admet les quatre autres pour focales. On sait 

 aussi que ces courbes sont respectivement sur cinq sphères qui sont deux à 

 deux orthogonales. Il y a là une belle généralisation des propriétés focales 

 des surfaces du second degré. 



Si, considérant un tel ensemble de cinq courbes, on le soumet à une in- 

 version dont le pôle est à l'inlersection des sphères contenant trois d'entre 

 elles, ces dernières se transforment nécessairement en trois courbes planes 

 situées dans des plans orthogonaux. On obtient ainsi les trois courbes que 

 nous avons appelées (A), (B), (C). Les deux autres focales se transforment 

 en deux coniques sphériques situées sur deux sphères dont le centre commun 

 est le point d'intersection des plans des courbes (A), (B), (C). Ainsi, on 

 peut dire encore que ces trois courbes sont les focales planes d'une conique 

 spherique. 



C'est, au reste, ce que l'on peut vérifier comme il suit. 



(') Celte propriélé est évidente pour le cône de révolution. L'inversion permet de 

 l'élendie immédiatement à toute cyclide de Dupin. 



