SÉANCE DU 24 AOUT I908. 4o3 



qui donne 



R» = — AB — AC — BC = — A, 



ce qui est bien d'accord avec la dernière équation (61). 



Les deux signes différents qu'on peut prendre pour R^ donnent les deux 

 coniques sphériques qui complètent avec (A), (B), (C) l'ensemble des cinq 

 focales. 



10. La connaissance des propriétés géométriques précédentes permet de 

 donner une grande précision à la définition du système orthogonal réver- 

 sible. Soit (D) la développable isotrope contenant les cinq focales et soit m 

 un point quelconque de (B), par exemple. Par m passent deux génératrices 

 isotropes de (D) qui vont couper le plan de (C) en deux points p, p symé- 

 triques l'un de l'autre par rapport au plan de (B). Par p et p' passent deux 

 génératrices de (D) qui vont se couper au point m' de (B) symétrique 

 de m par rapport au plan de (C). On a ainsi formé un quadrilatère va- 

 riable mpm' p' dont tous les cotés sont de longueur nulle. La cyclide de 

 Dupin ayant les quatre sommets de ce quadrilatère variable pour points 

 coniques et passant par (A) engendre une des familles du système étudié. 

 Ses cercles de courbure passent les uns par/a et/?', les autres par m et m . La 

 cyclide contient d'ailleurs les côtés du quadrilatère mpm' p'. Les autres 

 familles s'engendrent de même, en échangeant les courbes (A), (B), (C). 

 Remarquons d'ailleurs que les cyclides, passant par (A) par exemple, 

 admettent pour plans de symétrie les plans des deux autres courbes et que 

 leurs cercles sont normaux à l'un ou l'autre de ces plans. 



Il résulte de toutes ces remarques que le système orthogonal peut être 

 encore défini de la manière suivante : 



Soit (F) une cyclide de la première famille, passant nécessairement par 

 la courbe (A). Les cyclides des deux autres familles admettent toutes, nous 

 l'avons vu, le plan (P) de (A) comme plan de symétrie et se coupent sui- 

 vant des cercles normaux à ce plan. Comme le plan (P) occupe une position 

 quelconque par rapport à (F), nous serons ainsi conduit à celte génération 

 nouvelle du système triple : 



Donnons-nous arbitrairement une cyclide de Dupin (F) et un plan (P). 

 Les cercles normaux à la fois à (P) et à (F) engendrent un système cyclique, 

 c'est-à-dire qu'ils sont normaux à une famille de surfaces (qui sont néces . 

 sairement des cyclides) et peuvent se grouper de deux manières différentes 

 en deux familles de surfaces orthogonales (qui sont encore des cyclides). 

 L'ensemble de ces trois familles constitue notre système réversible. 



