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La proposition précédente suffit à montrer que ce système dérive par une 

 simple inversion du système le plus général qui soit formé de cyclides de 

 Dupin. Il résulte en effet, des développements donnés aux n"* 35, 36, 144, 

 14a, 146 de nos Leçons sur les systèmes orthogonaux, que ce système le plus 

 général se construit précisément à l'aide de cercles normaux à une cyclide 

 de Dupin et à une sphère quelconque. Il nous suffira d'une inversion quel- 

 conque transformant cette sphère en un plan pour être ramené au cas 

 spécial du système réversible. 



Réciproquement, on obtient, en soumettant le système réversible à une 

 inversion, une génération nouvelle du système le plus général. Pour obtenir 

 un tel système, il suffira de construire trois cycliques (A), (B), (C), planes 

 ou sphériques, qui soient les focales les unes des autres. Les cyclides de 

 Dupin qui composeront chaque famille du système triple devront passer par 

 l'une de ces courbes et avoir leurs points coniques sur les deux autres. Par 

 exemple, les cyclides de la première famille passeront par (A) et auront 

 deux de leurs points coniques sur (B), les deux autres sur (C); elles seront 

 anallagmaliqucs par rapport aux deux sphères contenant les courbes (B) 

 et (C), et leurs cercles de courbure seront normaux respectivement à ces 

 deux sphères. 



On voit que le système des cinq cycliques focales peut donner lieu à dix 

 systèmes triples différents. Comme, sur les cinq sphères qui contiennent les 

 focales, il peut y en avoir quatre réelles, se coupant trois à trois en des 

 points réels, on voit que quatre de ces dix systèmes pourront, par une inver- 

 sion réelle, être transformés en un système réversible. 



11. Après avoir défini le système réversible, nous avons à caractériser 

 le système inverse, engendré par le mouvement relatif de (T„) par rapport 

 à (T). 



Ici ce sont les quantités P, P, , P^ qui jouent le rôle des coordonnées rec- 

 tangulaires. Elles sont définies par les équations (38), où les 6 doivent satis- 

 faire aux équations (4o). Et il suffit de les comparer aux formules (35j 

 pour reconnaître qu'on passe du système réversible à son inverse en chan- 

 geant o, pw a'., 0,- en 0'^ et h^ en — /r. 



Cela reviendra simplement à changer le signe des constantes A, B, C ou 

 encore à remplacer dans le système primitif x, y, z par ix, iy, iz. Cette 

 simple remarque suffit à définir complètement le système inverse. 



12. Dans ce qui précède, nous avons laissé de côté systématiquement le 



