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En exprimant que le système des équations (3) et ('i ) admet trois solutions 

 ^tt ^:!) '^3 jouissant de cette propriété, on obtient les relations suivantes : 



(6) 



Lorsqu'elles sont vérifiées, le système des équations (3) et (4) est com- 

 plètement inlégrable, et, si l'on prend pour 0,, 0^, 0^ trois solutions de ce 

 système pour lesquelles le déterminant o est dillerent de zéro, les for- 

 mules (2) définissent une surface dont les coordonnées satisfont au 

 système (i) ('). 



Cette proposition est susceptible de nombreuses applications; en voici 

 une des plus intéressantes : 



Soit à (léleriiiiner les valeurs de A', p, 7, /■, p' , //' , /' qui conviennent aux surfaces 

 réglées. Si les lignes (3 = consl. sont les génératrices rectilignes, 7 z= o; le système (6) 

 s'intègre aisément el l'on retrouve les résultats ol)leinis en 1896 par M. Goursat {Ihill. 

 (le 1(1 Soc. math, de France). D'autres conséquences se tirent de cette analyse, parmi 

 lesquelles nous citerons la détermination, pai' des formules ne renfermant que dt's 

 quadratures, des surfaces réglées dont les deu\ branches de la ligne llecnodale coïn- 

 cident. 



En éliminant /., /• et /' entre les équations (fi), on obtient trois relations diiléren 

 tielles entre p, </, p' , q' : 



] d (dq A dp' d I dp A dp 



(7) \-¥X^p-^'i'i)-'i-d^ = TÀ:d-^-^''p)-pw 



I d /dp' A ,dq d (dp ^ A ,ôp 



Ce sont les conditions nécessaires et suffisantes i)oiir (|ue le système (1) soit vérifié 



(') Les surfaces (I) qui correspondent aux divers systèmes de valeurs de 9,, 65, 63 

 peuvent être déduites de l'une d'elles au moyen des homographies qui conservent l'oii- 

 gine el le plan de l'infini. Quant aux surfaces (M) correspondantes, on peut les déduire 

 de l'une d'elles au moyen des homographies qui conservent le plan de l'infini. 



