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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les zéros des inlègrales d'une ctcissc 

 d'équations différentielles. Noie de M. Georges Rkmou.vdos, trans- 

 mise par M. Emile Picard. 



I . Pour les fonctions à un nombre fini n de brandies et, en général, pour 

 toutes les fonctions u —fÇz) définies par une équation de la forme 



(0 A„(c.)H-A,(;)«+...+ A„_, (;;)»''- ' + »"+;9 (,-,«) =0, 



les A,(;) désignant des fonctions entières quelconques (elles ne sont pas 

 toutes des polynômes) etiD(^, î<) une fonction quelconque de w (sans inlinis) 

 et polynôme par rapport à r-, nous avons établi le théorème suivant ( ') : 



L 'équation 



"=/( = ) 



admet une injinité de racines pour toute râleur Jinie de u, sauf peut-être 211 — 1 

 au plus, qui s'appellent exceptionnelles. 



Si, en particulier, nous considérons le cas où 9(3, w) est égal à une 

 fonction nudtil'orme q (h), nous remarquons que les valeurs exceptionnelles 

 de u seront nécessairement despoints critiques de la fonction q (;/). 



Nous nous proposons de communiquer une extension du théorème ci- 

 dessus indif[ué [que nous appellerons théorème (T)] aux intégrales d'une 

 classe très étendue d'équations diflercntielles d'ordic quelcontjue et de la 

 forme suivante, 



(2) A„(5) + A,(;)«+...+ A„_,(i:)«"~i-h(/''4-;(^)(«. «', u" , .. .,//"")) = 0. 



les fonctions A,(:) (dont une, au moins, est transcendante) étant entières 

 et Q(f<, m', m", ..., lé'"') désignant un polynôme quelconque par rapport 

 à M, m', m", . . ., «''"'. 



Considérons une intégrale u = ^{z) de notre équation (2), qui satisfait 



(') Tlièse de Doctoral : Sur les zéros d'une classe de fonctions transcendantes. 

 Gautlliel•-^ illars, 1906, et Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse, ■?." sùrie, 

 t. VIII. 



