SÉANCE DU 24 AOUT 1908. 417 



aussi il d'auLies é-qualioiis 



«' = ^i(")- rt"--=g,{u), i,"' = ,:^,{,i). ..., «;"')=-„,(/0, 



Qiii. Il', n" ?/f"") =F{ii), 



où les fondions g\{ii), g.j(ii), . . . , g,„(ii), F(u) sont Inc.n d(Hei"niiui''es 

 pour chaque intégrale k = o'(s). 



Si la l'onction 1"('/) n'existe pas dans tout le plan, désignons par(D) le 

 domaine de l'existence de cette fonction, qui coïncide avec le domaine de 

 l'cxislence de l'inverse de l'intégrale w = a-(3); appelons aussi imleurs 

 erceptionnelles parfaites les valeurs de u que l'intégrale u = a(s) ne prend 

 à distance finie que pour ; =: o. 



Cela posé, nous démontrons (pie les seuls cas qui peuvent se présenter 

 sont les suivants : 



a. On bien l'équalion 



À„(j) + A, (;)«+... H- A„_,(.V)„«"'+ ,/«+cF((/) = o 



11' est pas irrédiiclihle, c'est-à-dire qu'elle ne détermine pas une seule fonc- 

 tion u =; ^(^)) mais plusieurs distinctes. 



b. Ou bien dans le domaine (D) l'intégrale u = ci(z-) jouit de la propriété 

 exprimée par le théorème (T) à condition d'exclure lesvaleurs exceptionnelles 

 non parfaites ; autrement dit, le nombre des valeurs exceptionnelles non par- 

 faites du domaine (D) ne saurait dépasser in — \ (^l'infini non compris). 



Un au moins de ces faits aura lieu ; c'est là une extension aux intégrales 

 d'une classe étendue d'équations différentielles du célèbre théorème de 

 M. Picard. 



Dans l'équation (2") la fonction Q(m, m', . . . , ?*'"") peut être aussi trans- 

 cendante par rapport à «/, u', . . . , «'"'\ 



Dans le cas où F(«) est une fonction multiforme, les valeurs exception- 

 nelles doivent être des points critiques de cette fonction. 



Il est bien entendu que l'extension aux intégrales des équations différen- 

 tielles considérées du théorème des fonctions à un nombre fini de branches 

 est aussi vraie pour toutes ses généralisations. 



Un résultat analogue est obtenu par M. Painlevé pour les intégrales des 

 équations différentielles du premier ordre, algébriques par rapport à u 

 et :•('). Au contraire, les équations de ce travail sont nécessairement trans- 



(') Leçons de Stockholm, p. 233 bis, a34, 235. 



