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Pour aller plus loin, nous observons qu'on peut, dans les équations (7), 

 permuter les indices an, 2« — i , :>,n — 2, . . ., n + 2, n -+- i qui répondent 

 aux indices des variables dépendantes, l'^n effet nous pourrons remplacer 

 réciproquement tous les indices de la manière suivante. Le premier indice 

 dans les parenthèses prend la place du second elvi'ce ve?-sa; puis le premier 

 se remplace réciproquement par le troisième, le premier se met plus loin 

 à la place du quatrième, clc; on met enfin l'indice n -+- i ainsi que le pre- 

 mier dans les parenthèses l'un à la place de l'autre. On voit (|ue nous ne 

 remplaçons que le premier indice. Nous aurons ainsi, outre les ( 7), 



A„+/,,(2/( — 1, ?./) 3. 2) — A„,(.,-,2(2« — I, 2«, ..., 3, 1) 



-t- A„+,-,3{2« — I, 2/(, . . ., 4, 2, l) — . . . 

 ^'' ' ' — (— l)"+'A„4.,,„(2/i — I, 2// /(-t-I,« — I 2.1) 



^ = (— I )'"*""+'(2" — r, 2«, ..../;-(-( 4- I. /J -î- J — I, .... 2. I). . . ., 



enfin 



I -^in.t {il +1,-111 — \, . .,9.11 2,1) 



\ — Aj„,2(/i 4- /, 2« — I, . . ., 2/(, . . ., 3, l) 



(9) t 4- A2„,3(« +«', 2/) — I, .. ., 2«, . . ,4.2,1)—... 



I —(—i)"-^' A, „,„(/( + «■, 2/( — I, 2//, . . .,n + t,n — i, . .., 2, 1) 



' =r (— !)'-'-''+'(« 4- /, 2rt — r, . . ., n -h i + I, Il + i — 1, . . ., 2, 1). 



Ainsi, nous obtenons un système de n" équations linéaires (4), (7), (H), 

 (9) renfermant rr quantités inconnues A„+,..s^ d'où nous pourrons tirer 

 tous les coefficients A dans le cas de n impair. Mais, si le nombre n est 

 pair, alors le système devient indéterminé parce que le déterminant de 

 celui-ci sera égal identiquement à zéro. Par conséquent, tous les coefficients 

 demandés A sont alors des fonctions linéaires d'un seul d'entre eux, de 

 A.„,„, par exemple. Ainsi donc, quand n sera pair, on a 



(10) A„+,-,i.=r 9,(A2„,„) (/^- — I 



. . , Il — : 



1,2, .. ., « 



Après avoir tiré du système (4), (7), (H), (9) toutes les valeurs (10), 

 nous les porterons dans les équations 



(A.,„.,),= (A2„,,), (/• = !, 2, ...,n), 



et nous obtiendrons de cette manière un système linéaire d'équations aux 

 dérivées partielles d'une seule fonction A^„,„. 



Il est à propos de remarquer que, lorsque l'équation donnée (i) contient 



